Тема 5. Будова теореми. Види теорем.

В математиці часто доводиться мати справу з

твердженнями, які характеризують властивості певних об’єктів,

чи відношень між ними. Деякі властивості розкривають у

твердженнях, які називаються означеннями і приймаються на

основі домовленостей без доведення. Наприклад,

паралелограми з рівними сторонами домовились називати

ромбами, а для паралелограмів, які не мають рівних суміжних

108

сторін, не запровадили спеціального терміну, а тому про них

говорять нерівносторонні паралелограми, або не_ромби (хоч

остання назва виражає значно ширший обсяг об’єктів і не є

об’єктивна). Інші властивості об’єктів чи відношень настільки

очевидні, що також не вимагають доведень і формулюються у

вигляді тверджень, які називаються аксіомами.

Однак найчастіше зустрічаються твердження, істинність яких

необхідно довести чи обгрунтувати шляхом логічних міркувань.

Такі твердження називаються теоремами. З точки зору

математичної логіки теорему можна означити так:

Імплікація предикатів, яка перетворюється в істин)

не висловлення на всій області визначення, нази)

вається теоремою.

Оскільки така імплікація виражає відношення логічного

слідування предикатів, то це означає, що кожне відношення

логічного слідування предикатів є теоремою . Отже, в

найпростішому випадку теорема записується так:

( ∀ х ∈)[A(х) ⇒B(х) ]

Цей запис дозволяє легко охарактеризувати структуру

(будову) теореми. Очевидно, що теорема складається з трьох

частин:

роз’яснювальної частини: ( ∀ х ∈),

умови теореми _ предиката А(х), який є умовою імплікації,

і висновка теореми _ предиката В(х), який є висновком

імплікації. В роз’яснювальній частині вказується на множину

об’єктів, властивості яких розкриваються. Однак при

словесному формулюванні теорем роз’яснювальна частина

часто присутня в неявній формі, тобто її не формулюють в

розгорнутому вигляді з квантором ( “для всіх х із множини Х” ),

а догадуються про які об’єкти йде мова з умови та висновку

теореми.

Теореми формулюються в імплікативній або категоричній

формі, або з допомогою слів “необхідно”, “достатньо”, або

“необхідно й достатньо”, чи “тоді і тільки тоді” тощо.

Символічно записуються теореми тільки в імплікативній

формі. Тому якщо потрібно символічно записати теорему,

сформульовану в категоричній формі, то спочатку її слід

перефразувати, звівши до імплікативної форми. В

імплікативному формулюванні легко виділити умову і висновок:

109

сукупність слів між словами “якщо” і “то” _ це умова; сукупність

слів після слова “то” _ це висновок теореми.

Запишемо для прикладу символічно теорему: “Якщо число

ділиться на 4, то воно ділиться на 2”.

Як бачимо, роз’яснювальна частина явно не присутня, але із

формулювання теореми легко догадатись, що йде мова про

натуральні числа (а не дробові, чи ірраціональні, де відношення

подільності не має змісту), а отже, областю визначення

предикатів, які утворюють теорему, є множина натуральних

чисел. Оскільки твердження стосується одного довільного

натурального числа, то роз’яснюючу частину можна записати

так: ( ∀ х ∈N). Предикати, які утворюють теорему, одномісні, бо

в теоремі йдеться про одне число, довільно вибране з множини

N. Предикат, що є умовою теореми, позначимо А(х): “число х

ділиться на 4”, а предикат, що є висновком теореми _ В(х): “число

х ділиться на 2”. Отже, теорема запишеться так:

( ∀ х ∈N )[ A(х) ⇒B(х) ].

Наведена формула виражає структуру простої теореми, в якій

умова і висновок є одномісними предикатами, з одним

підметом та одним присудком. Але в математиці дуже часто

зустрічаються теореми ускладненої структури, в яких умова або

висновок, чи і умова, і висновок являють собою складені

предикати. Наприклад, теорема: “Якщо число ділиться на 2 і на

3, то воно ділиться на 6” має умову кон’юнктивної структури

(сполучник “і”), оскільки вона складається з двох предикатів А(х)

та В(х) , з’єднаних сполучником “і”, де предикат А(х): “число х

ділиться на 2”, предикат В(х) : “число х ділиться на 3”. Висновком

цієї теореми є предикат С(х) : “число х ділиться на 6”. Зрозуміло,

що ці предикати розглядаються на множині натуральних чисел:

х ∈N. Отже, структура цієї теореми символічно може бути

записана так:

( ∀ х ∈N ) [A(х) ∧B(х) ⇒C(х) ].

Види простих теорем

Нехай деяка дана теорема має структуру:

( ∀ х ∈) [ A(х) ⇒B(х) ] (1),

де ( ∀ х ∈) _ роз’яснювальна частина, предикат А(х) _ умова

теореми, а предикат В(х) _ висновок теореми.

110

Якщо в даній теоремі (1) поміняти місцями умову і висновок,

залишивши без зміни роз’яснювальну частину, то одержимо

теорему, обернену до даної, яка має вигляд:

( ∀ х∈) [ В(х) ⇒А(х) ] (2).

Якщо в даній теоремі (1) виконати заперечення умови і

висновку, залишивши без зміни роз’яснювальну частину,то

одержимо теорему, протилежну до даної, яка має вигляд:

( ∀ х ∈) [

A(x)

⇒B(x) ] (3).

Якщо поміняти місцями умову і висновок теореми (3),

протилежної до даної, то одержимо теорему, обернену

до протилежної, яка має вигляд:

( ∀ х ∈) [

B(⇒A(x) ] (4).

Цю теорему можна одержати іншим способом, а саме,

виконавши заперечення умови і висновку теореми,

оберненої до даної. Одержану таким чином теорему

називають теоремою, протилежною до оберненої:

( ∀ х ∈) [

⇒A(x) ].

Зауважимо, що шляхом виконання операції заперечення

умови та висновку, або зміною місць умови і висновку, або

одночасно обома операціями (запереченням умови та

висновку і зміною їх місць) можна утворити чотири різні види

теорем не лише з простої теореми, але і з довільної теореми

ускладненої структури.

Всі чотири види теорем становлять систему, в якій можуть

бути всі теореми істинні, або всі теореми хибні, або дві

теореми істинні, а дві хибні. В останньому випадку дана

теорема і теорема, обернена до протилежної (чи протилежна

до оберненої, що те ж саме), мають однакове значення

логічної вартості. Так само теорема, обернена до даної, і

теорема, протилежна до даної, також мають однакове

значення логічної вартості.

Проілюструємо на прикладі, як утворити різні види теорем з

розглянутої вище простої теореми і визначимо значення логічної

вартості кожної з них. Отже, нехай дано теорему: “Якщо число ділиться

на 4, то воно ділиться на 2”. Символічно вона записується так:

( ∀ х∈N )[A(х) ⇒B(х) ], де А(х) : “число х ділиться на 4”, а В

(х) : “число х ділиться на 2”.

111

Ця теорема істинна, бо ТА(х) ⊂ТВ(х) , тобто предикат В(х)

логічно слідує з предиката А(х) . Поміняємо місцями умову і

висновок даної теореми, внаслідок чого утворимо теорему,

обернену до даної: “Якщо число ділиться на 2, то воно ділиться

на 4”. Символічно її запишемо так: ( ∀ х ∈N ) [ B(х) ⇒A(х) ] .

Ця теорема хибна, бо предикат А(х) логічно не слідує з

предиката В(х), оскільки ТВ(х) ⊄ТА(х). Взагалі кажучи, хибність

її очевидна, бо, наприклад число 6 ділиться на 2, але не

ділиться на 4.

Виконаємо тепер заперечення умови і висновку даної

теореми, внаслідок чого одержимо теорему, протилежну до

даної: “Якщо число не ділиться на 4, то воно не ділиться на 2”,

яку символічно запишемо так: (

∀

х ∈N ) [

A(⇒В (x )] .

Ця теорема хибна, бо, наприклад, число 10 не ділиться на 4,

але воно ділиться на 2.

Нарешті виконаємо заперечення умови і висновку оберненої

теореми, внаслідок чого утворимо теорему, протилежну до

оберненої: “Якщо число не ділиться на 2, то воно не ділиться на

4”, символічно її записують так:

( ∀ х ∈N )[ B(x)⇒A(x) ] .

Ця теорема істинна.

З наведеного прикладу очевидно, що дана теорема і

теорема, протилежна до оберненої, істинні, а теорема,

протилежна до даної, і теорема, обернена до даної, є хибні.

Взагалі встановлено, що дана теорема

( ∀ х ∈C) [A(х) ⇒B(х)] (1)

і теорема, обернена до протилежної

( ∀ х ∈C ) [

B (x)

⇒A(x)] (4)

завжди рівносильні, тобто завжди, коли істинна теорема (1),

то й буде істинна теорема (4) і навпаки.

( ∀ х ∈C ) [ A(х) ⇒B(х) ] ⇔( ∀ х ∈C ) [

⇒A(x)]

Одержану рівносильність називають законом

контрапозиції. Його широко використовують при доведенні

теорем методом від супротивного. Слід відмітити, що якщо

істинна дана теорема (1), то обернена їй теорема може бути як

істинна, так і хибна. Тому в кожному випадку слід проводити

самостійне доведення. Якщо виявляться істинними дана

112

теорема (1) і теорема, обернена до даної (2), то їх можна

об’єднати в одну з допомогою слів “необхідно і достатньо”, або

“тоді і тільки тоді” і записати символічно так:

( ∀ х ∈Х ) [ A(х) ⇔B(х) ] (5).

З другого боку, якщо теорема має структуру (5) , то її

доведення зводиться до доведення взаємно обернених теорем:

( ∀ х ∈Х ) [ A(х) ⇒B(х) ] та ( ∀ х∈Х ) [ В(х) ⇒А(х) ] .

Розглянемо, наприклад, теорему, що виражає ознаку

подільності натурального числа на 3: “Для того, щоб число

ділилось на 3, необхідно й достатньо, щоб сума цифр цього

числа ділилася на 3”. Вважаючи, що областю визначення

кожного з предикатів, які утворюють теорему, є множина

натуральних чисел (х ∈N ), і позначивши предикати через А(х):

“число х ділиться на 3”, В(х): “сума цифр числа х ділиться на 3”,

дану теорему можна записати так: ( ∀ х ∈N ) [ A(х) ⇔B(х) ].

Доведення цієї теореми зводиться до доведення двох

взаємно обернених теорем:

1) ( ∀ х ∈N )[ A(х) ⇒B(х) ] _ “Якщо число ділиться на 3, то

сума його цифр ділиться на 3”; і

2)( ∀ х ∈N )[ В(х) ⇒А(х) ] _ “Якщо сума цифр числа ділиться

на 3, то число ділиться на 3”.

Іншими словами, дана теорема являє собою кон’юнкцію двох

взаємно обернених теорем:

( ∀ х ∈N )[ A(х) ⇔B(х) ] ≡

≡( ∀ х ∈N )[ A(х) ⇒B(х) ] ∧( ∀ х ∈N )[ В(х) ⇒А(х) ],

або коротше:

( ∀ х ∈N )[ A(х) ⇔B(х) ] ≡

≡( ∀ х ∈N )[ (A(х) ⇒B(х)) ∧( В(х) ⇒А(х) ].

Зразки розв’язування вправ з теми: “Будова теореми.

Види теорем”.

Завдання 1.

Визначити _____структуру теореми, яка виражає властивість

ромба, і записати її символічно: “Діагоналі ромба взаємно

перпендикулярні і ділять його кути пополам”.

Розв’язування. Дана теорема сформульована в

категоричній формі. Щоб визначити її структуру і записати

символічно, необхідно встановити, з яких простих предикатів

вона складається, і на якій множині ці предикати задані, тобто

113

на якій множині вони перетворюються в істинне чи хибне

висловлення. Після чого сформулювати теорему в

імплікативній формі, тобто утворити імплікацію з виділених

простих предикатів, вказати, які предикати є умовою теореми,

а які висновком. Для цього розмірковуємо, яких об’єктів

стосується дана теорема (твердження), з якої множини

вибираються ці об’єкти. Очевидно, що твердження стосується

ромбів, які вибираються з множини чотирикутників. А тому

змінна х позначатиме довільний чотирикутник з множини Х

всіх чотирикутників ( ∀ х∈Х ). Оскільки теорема стосується не

всіх чотирикутників, а лише тих, які є ромбами, тому

позначимо через А(х) предикат: “чотирикутник х є ромбом”.

Теорема стверджує, що “якщо вибраний чотирикутник ромб,

то в ньому діагоналі взаємно перпендикулярні і ділять його

кути пополам”. Отже, предикат А(х) буде умовою теореми.

Введемо два нові предикати В(х) і С(х) , які з’єднуються

кон’юнктивно і є висновком теореми: В(х):“діагоналі

чотирикутника х взаємно перпендикулярні”, С(х) : “діагоналі

чотирикутника х ділять його кути пополам”. Тепер утворимо

імплікацію, умовою якої є предикат А(х) , а висновком _

кон’юнкція предикатів В(х) та С(х) :

A(х) ⇒B(х) ∧С(х) .

Оскільки ця імплікація істинна на всій множині чотирикутників,

а отже, виражає відношення логічного слідування між

предикатами А(х) та В(х) ∧С(х), то, дописавши роз’яснювальну

частину ( ∀ х∈Х), одержимо символічний запис даної теореми:

( ∀ х∈Х )[A(х) ⇒B(х) ∧С(х)], яку можна сформулювати в

імплікативній формі так: “Якщо чотирикутник _ ромб, то його

діагоналі взаємно перпендикулярні і ділять його кути пополам”.

Умовою теореми є простий одномісний предикат А(х), а

висновок являє собою кон’юнкцію двох предикатів В(х) і С(х) ,

які також одномісні.

Завдання 2.

Визначити структуру теореми і сформулювати її в

імплікативній формі. Теорема: “Для того, щоб дві прямі були

паралельні, достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути при

перетині даних прямих третьою прямою були рівні”.

Розв’язування. Оскільки в теоремі йдеться про дві прямі, то

теорему утворюють два двомісні предикати, які задані на

множині М всіх можливих пар (х,у) прямих площини, а саме:

114

А(х,y) : “прямі х і у _ паралельні”,

В(х,у): “внутрішні різностороні кути при перетині прямих х і у

третьою прямою рівні”.

Тепер потрібно з’ясувати, який з предикатів є умовою

теореми, а який висновком. Для цього треба встановити, до

якого з предикатів відноситься слово “достатньо”. Як очевидно

з формулювання теореми, слово “достатньо” відноситься до

предиката В(x,y) : “внутрішні різносторонні кути при перетині

прямих х та у третьою прямою рівні”. Як відомо, (див. стор. 83)

достатню умову записують на місці умови імплікації, а необхідну

умову _ на місці висновку імплікації. Отже, умовою теореми є

двомісний предикат В(x,y), а висновком теореми _ двомісний

предикат А(x,y). А тому символічно її можна записати так:

( ∀ х,у∈M )[B(х,у) ⇒A(х,у) ] .

На основі цього її легко сформулювати в імплікативній формі:

“Якщо внутрішні різносторонні кути при перетині двох прямих

третьою прямою рівні, то прямі паралельні”.

Завдання 3.

Використовуючи закон контрапозиції, переформулюйте дану

теорему: “Якщо кожний доданок ділиться на дане число, то і

сума поділиться на дане число”. Запишіть дану і утворену

теореми в символічній формі.

Розв’язування. Закон контрапозиції виражає рівносильність

даної теореми і теореми, протилежної до оберненої:

( ∀ х∈Х ) [A(х) ⇒B(х) ] ⇔( ∀ х∈Х ) [

B(x)

⇒A(x)].

Дана теорема сформульована в імплікативній формі, тому

легко визначити її структуру. Умовою теореми є речення:

“Кожний доданок ділиться на дане число”, а висновком _ “сума

ділиться на дане число”. Оскільки відношення подільності має

зміст на множині натуральних чисел, тому областю

визначення є множина N. Помінявши місцями умову і

висновок даної теореми і виконавши заперечення умови і

висновку, одержимо теорему, протилежну до оберненої:

“якщо сума не ділиться на дане число, то і кожен доданок не

ділиться на дане число”. Легко переконатись, що дана

теорема істинна, а отже, за законом контрапозиції істинна і

теорема, протилежна до оберненої.

Тепер запишемо теорему в символічній формі. Обмежимось

випадком, коли розглядається сума двох доданків х і у, які є

115

натуральними числами, а дане число, на яке діляться доданки,

позначимо через а. Речення: “Кожний доданок ділиться на дане

число” являє собою кон’юнкцію двох одномісних предикатів:

А(х): “число х ділиться на дане число а” і

В(у) : “число у ділиться на дане число а”.

Це означає, що умовою даної теореми є предикат

А(х) ∧В(у).

Висновком даної теореми є речення “сума ділиться на дане

число”, яке являє собою двомісний предикат

С(х,у): “Сума чисел х і у ділиться на дане число а”. Отже, дану

теорему можна записати символічно так:

( ∀ х,у∈N )[ A(х) ∧B(у) ⇒С(х,у) ].

Запишемо теорему, протилежну до оберненої:

( ∀ х,у∈N )[

C(x,y)⇒ A(x)∧ B(y)

]

Застосувавши закон де Моргана (заперечення кон’юнкції

дорівнює диз’юнкції заперечень), останню теорему можна

переписати в такому вигляді:

( ∀ х,у∈N )[

x)∨ ].

і сформулювати так: “Якщо сума двох чисел не ділиться на

дане число, то хоч би один з доданків не ділиться на дане число”.

Умовою цієї теореми є двомісний предикат, а висновок має

диз’юнктивну структуру, тобто являє собою диз’юнкцію двох

одномісних предикатів.

Якщо б розглядати суму не двох, а n доданків, то виявлення

структури даної теореми і теореми, протилежної до оберненої,

не викликає труднощів, оскільки воно ведеться аналогічними

міркуваннями, як і у випадку двох доданків. Умова даної теореми

(“кожний доданок ділиться на дане число”) являє собою

кон’юнкцію n одномісних предикатів А1(х), А2(у), ... , Аn(t) ; де

А1(х) : “перший доданок х ділиться на дане число а”; А2(у) :

“другий доданок у ділиться на дане число а”; і т. д. , Аn(t) : “n_й

доданок t ділиться на дане число а”.

Висновком даної теореми буде n_місний предикат

В(х,у, ... , t) : “сума чисел х,у,.......,t ділиться на дане число а”.

Отже, в цьому випадку теорема запишеться символічно так:

( ∀ х,у, ... ,t∈N )[A1(х) ∧A2(х)∧... ∧An(t) ⇒B(х,у,......,t) ].

Теорема, протилежна до оберненої відповідно запишеться

так:

116

( ∀ х,у,..,t∈N )[

B(x,y,...,t)⇒ A1(x)∨A2(y)∨...∨An (t)

].

В імплікативній формі останню теорему можна

сформулювати так: “Якщо сума n чисел х,у,....,t не ділиться на

дане число, то хоча б один з доданків не ділиться на дане число”.

Висновок останньої теореми являє собою диз’юнкцію n

предикатів, які є запереченнми кожного з предикатів, даних в

умові даної теореми, оскільки заперечення кон’юнкції дорівнює

диз’юнкції заперечень (згідно закону де Моргана).

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.

Визначте структуру поданих теорем і запишіть ці теореми

символічно:

1) У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів.

2) У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

3) У рівнобедреному трикутнику висота, опущена на основу,

є одночасно бісектрисою і медіаною.

4) Діагональ паралелограма ділить його на два рівні

трикутники.

5) Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться

пополам.

6) Діагоналі прямокутника рівні.

7) Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить цю хорду і

стягувані нею дуги пополам.

8) Рівні хорди стягують рівні дуги даного кола.

9) Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні і

паралельні, то цей чотирикутник паралелограм.

10) У правильний многокутник можна вписати коло.

11) Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої,

паралельні між собою.

12) Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох

паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої

прямої.

13) Кожен паралелограм має центр симетрії.

14) Кожен прямокутник має дві осі симетрії.

15) Похилі, які проведені з однієї точки до однієї й тієї самої

прямої і мають рівні проекції, рівні між собою.

16) Вписані кути, що спираються на рівні дуги, рівні.

117

17) Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

18) Прямокутний трикутник _ нерівносторонній

(неправильний).

19) Тупокутний трикутник _ нерівносторонній

(неправильний).

20) Бічні сторони прямокутної трапеції не рівні.

Завдання 2.

Подані у завданні 1) теореми сформулюйте в імплікативній

формі. Утворіть до кожної з них обернену та протилежну

теореми і теорему, обернену до протилежної. Визначте

значення логічної вартості кожної з одержаних теорем.

Завдання 3.

Кожну з даних у завданні 1) теорем сформулюйте з

допомогою слів “необхідно” чи “достатньо”. Відповідь

обгрунтуйте.

Завдання 4.

Визначте значення логічної вартості даних теорем і запишіть

їх символічно. Використовуючи закон контрапозиції,

переформулюйте ці теореми і визначте їх логічну вартість:

1) Якщо кожен з доданків ділиться на 11, то і сума ділиться на 11.

2) Якщо хоча б один з доданків не ділиться на 5, то і сума не

ділиться на 5.

3) Якщо хоча б один з доданків ділиться на 5, то і сума ділиться

на 5.

4) Якщо сума ділиться на 11, то і кожний доданок ділиться на 11.

5) Якщо сума не ділиться на 5, то і жоден з доданків не ділиться

на 5.

6) Якщо сума не ділиться на 5, то хоча б один з доданків не

ділиться на 5.

7) Якщо хоча б один з множників ділиться на дане число, то і

добуток ділиться на це число.

8) Якщо кожен з множників ділиться на дане число, то і

добуток ділиться на це число.

9) Якщо хоча б один із множників не ділиться на дане число,

то і добуток не ділиться на це число.

10) Якщо кожен з множників не ділиться на дане число, то й

добуток не ділиться на це число.

11) Якщо зменшуване і від’ємник діляться на дане число, то

й різниця ділиться на це число.

12) Сума двох парних чисел є число парне.

118

13) Якщо число кратне 3 і 4, то воно кратне 2.

14) Для того, щоб різниця ділилася на число, достатньо, щоб

зменшуване і від’ємник ділилися на це число.

15) Якщо запис числа закінчується цифрою 5, то число

ділиться на 5.

16) Якщо запис числа закінчується цифрами 0 і 5, то число

ділиться на 5.

17) Якщо сума цифр запису числа ділиться на 9, то число

ділиться на 9.

18) Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні, то цей чотирикутник

_ прямокутник.

19) Сума суміжних кутів дорівнює 1800 .

20) Вертикальні кути рівні між собою.

21) Вписаний кут, що спирається на діаметр, _ прямий.

22) Для того, щоб дві прямі перетинались, достатньо, щоб

вони лежали в одній площині.

23) Якщо добуток двох цілих чисел ділиться на 6, то хоча б

один з множників ділиться на 6.

24) Катет, що лежить проти кута 300 , дорівнює половині

гіпотенузи.

25) Сума кутів трикутника дорівнює 1800 .