23. Численные методы решения оду: схема Рунге-Кутты 2-го порядка.

Для построения разностной схемы интегрирования воспользуемся разложением решения задачи (2.1) в ряд Тэйлора:

Заменим вторую производную в этом разложении выражением

,

где , причем x подбирается из условия достижения наибольшей точности записанного выражения. Для дальнейших выкладок произведем замену величины разложением в ряд Тэйлора

Для исходного уравнения (2.1) построим вычислительную схему:

,

которую преобразуем к виду

Введем обозначения:

,

которые позволяют записать предыдущее выражение в форме

.

Очевидно, что все введенные коэффициенты зависят от величины x и могут быть определены через , который в этом случае играет роль параметра,

.

Окончательно схема Рунге-Кутты принимает вид

. (2.11)

Та же схема в форме разностного аналога уравнения (2.1):

При  = 0 получаем как частный случай уже известную схему Эйлера

.

При  = 1 выражение (2.11) записывается в форме

.

В этом случае проведение расчетов на очередном шаге интегрирования можно рассматривать как последовательность следующих операций (рис. 2.2):

1. Вычисляется выражение

,

представляющее собой полушаг интегрирования по схеме Эйлера, то есть определяется приближенное значение искомой функции в точке .

2. Для той же промежуточной точки определяется приближенное значение производной

.

3. Определяется уточненное значение функции в конечной точке всего шага, причем по схеме Эйлера с вычисленным на предыдущем шаге значением производной,

.

Геометрические построения показывают, что получаемое в такой последовательности решение лежит “ближе” к истинному, чем вычисляемое по схеме Эйлера, то есть следует ожидать более высокой точности решения, получаемого методом Рунге-Кутты.

y

y_k+1

y_k y_k+1/2

x_k x_k+1/2 x_k+1

Рис.2.2. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты с параметром  = 1 .

Теперь рассмотрим схему, получающуюся из выражения (2.11) при (геометрическая интерпретация результата приведена на рис. 2.3):

.

1. Выполняется полный шаг метода Эйлера с целью определения приближенного значения искомой функции на конце отрезка интегрирования,

.

2. Для этой же точки вычисляется приближенное значение производной

.

3. Находится среднее значение двух производных, определенных на концах отрезка

.

4. Вычисляется значение искомой функции в конечной точке всего шага по схеме Эйлера с усредненным значением производной:

.

Геометрически понятно, что получаемый указанным способом результат также должен быть “ближе” к истинному решению, чем получаемый по схеме Эйлера.

y

y_k+1

y_k

x_k x_k+1

Рис.2.3. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта с параметром  = 0,5