Метод простых итераций

Из выражения (3.10) можно получить систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных:

.

В частном случае стационарного итерационного метода, когда , последнее выражение преобразуется к виду

.

Иначе говоря, исходная итерационная процедура сводится к схеме метода простых итераций:

. (3.11)

Вектор , для которого , называется неподвижной точкой оператора . Очевидно, что вектор X является решением уравнения X = (X) тогда и только тогда, когда он является неподвижной точкой.

Оператор  является сжимающим на множестве с коэффициентом сжатия С, если имеет место

.

Теорема 3.3. Пусть оператор  определен на множестве и является сжимающим на этом множестве с коэффициентом сжатия С , причем

.

Тогда в А оператор  имеет единственную неподвижную точку и итерационный метод (3.11) сходится к при любом начальном . Имеет место оценка погрешности:

.

Доказательство этой теоремы изложено в книгах [4, 9].

Метод Ньютона

Как и ранее, выберем в окрестности решения вектор X и воспользуемся формулой Тейлора для функций :

,

где .

С учетом того, что , итерационная процедура метода Ньютона принимает форму

.

В матричной записи последнее соотношение имеет вид:

, (3.12)

где вид матрицы определен выше. Сравнение формулы (3.12) с выражением (3.10) позволяет определить итерационные параметры:

.

Соотношение (3.12) позволяет построить вычислительный итерационный алгоритм:

.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия:

1. Оператор F(X) определен в замкнутом шаре , дважды дифференцируем там, при этом вторая производная ограничена .

2. имеет обратный оператор, для нормы которого выполнена оценка

.

3. Для начального приближения верно неравенство

.

4. Величины M, D, S удовлетворяют условию

.

5. Для числа r верно неравенство

.

Тогда:

- в заданном шаре радиуса r уравнение F(X) = 0 имеет решение;

- в вычислительном процессе Ньютона (3.12) приближение может быть построено при любом значении n ; все принадлежат шару и последовательность сходится к решению уравнения;

- для приближения верна оценка:

,

где есть наименьший корень уравнения

,

- приближение к нему, построенное при начальном приближении .

Доказательство теоремы 3.4 приведено в книге [4].

В качестве модификации метода Ньютона (3.12) может рассматриваться вариант

,

при котором матрица формируется и обращается лишь один раз для начального приближения .

Нелинейный вариант метода Якоби

Для системы нелинейных уравнений вида

итерационный процесс строится так, что из каждого уравнения системы определяется значение только одной неизвестной , а значения остальных берутся с предыдущего шага,

.

При этом определение искомой величины на очередной итерации производится с помощью какого-либо известного метода решения одного нелинейного уравнения.

Нелинейный вариант метода Зейделя

В отличие от метода Якоби при определении неизвестной на очередной итерации используются уже найденные предыдущие неизвестные:

.

Пример 3.4. Решить систему нелинейных алгебраических уравнений

Решение этой системы нелинейных уравнений с погрешностью имеет вид:

где - комплексная единица.

Воспользуемся методом Ньютона для отыскания корней уравнений этой системы.

Представим итерационный процесс Ньютона в форме:

;

Теперь на каждом итерационном шаге необходимо решать полученную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

В явной форме решение полученной системы имеет вид

Результаты расчетов приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Решение методом Ньютона системы нелинейных уравнений из примера 3.4

Номер итерации	x(n)	y(n)
1	1	1
2	1	2
3	1,5	1,8
4	1,35	1,791304348
5	1,338446055	1,791287848
6	1,338390022	1,791287848
7	1,338390021	1,791287848
8	1,338390021	1,791287848