2. Критерий Фостера – Стюарта

Критерий Фостера-Стюарта позволяет проверить гипотезы о существовании тенденций (трендов) изменении средних и дисперсий.

Рассмотрим наиболее общий случай – имеются параллельные измерения при различных уровнях контролируемого фактора. Анализ динамического ряда результатов наблюдений или измерений при различных уровнях некоторого фактора начинается с определения выборочных средних на каждом уровне: , ,………, . Совокупность значений можно рассматривать как некоторый векторе Y размерности k, а конкретные численные значения как компоненты этого вектора.

Рассчитываются два вектора и .

Компоненты этих векторов находятся путем последовательного сравнения средних. Если какое-нибудь очередное значение превышает по величине все предыдущие, то соответствующая компонента вектора принимает значение 1. В противном случае компоненте присваивается значение 0.

Если какое-нибудь очередное значение меньше по величине всех предыдущих, то соответствующая компонента вектора принимает значение 1. В противном случае компоненте присваивается значение 0.

Затем определяются две характеристики А и В:

A= , B= ,

где = - , = +

Суммирование производится по всем членам ряда.

Величины принимают значение -1, 0 или 1. Характеристика А может находиться в пределах от – (k-1) до (k-1). Нижний предел соответствует монотонно убывающему, а верхний – монотонно растущему исходному ряду.

Величины имеют значения 0 или 1. Характеристика В находится в пределах от 0 до k-1. Если все уровни равны , то В=0. Если они монотонно растут, либо падают, или же их колебания чередуются, систематически увеличиваясь или падая, то В = k-1.

Показателя А и В асимптотически нормальны и имеют независимые распределения. Показатель А применяется для обнаружения тенденции изменения средних. Показатель В используется для выявления тенденций изменения дисперсий вокруг средних.

После вычисления А и В проводится проверка гипотез о наличии трендов среднего и дисперсии . Эти гипотезы проверяются с помощью соответствующих t – статистик Стьюдента:

=(A-M)/

=B/

Где М- оценка математического ожидания величины А;

– оценка среднеквадратического отклонения величины А;

– оценка среднеквадратического отклонения величины В.

Значение квантилей при уровне значимости и числе свободы k-1 берутся из таблицы распределения Стьюдента или вычисляются по приближенным формулам .

Если >= или >= , то гипотезы об отсутствии тренда средних или дисперсий отвергаются. В противном случае гипотезы об отсутствии тренда средних или дисперсий принимаются.

Лекция 6

Доверительные интервалы оценивания выборочного среднего и дисперсии.

6.1 Определение доверительных интервалов для генерального среднего

Случай 1. Полагаем, что известно значение генеральной дисперсии δ². Знание генеральной дисперсии позволяет определить доверительный интервал с уровнем значимости для генерального среднего по одному точечному значению случайной величины x₀. При этом доверительный интервал двусторонний и равен

x₀-δ*U_1-α/2 ≤ a ≤ x₀+U δ* U_1-α/2, где U_1-α/2 – квантиль нормального распределения. Данное утверждение справедливо для нормального распределения. 1- =p – доверительная вероятность.

Случай 2. Полагаем, что x={x1,…xn}. Можно использовать некоторое выборочное среднее и то, что . Тогда

Для уменьшения доверительного интервала, исходя из полученного неравенства видно, что необходимо увеличивать размерность вектора измерения. Поскольку имеем вектор измерения размерности N, при незнании значения генеральной дисперсии δ² мы можем в качестве оценки генеральной дисперсии использовать выборочную дисперсию. И, в этом случае, нужно воспользоваться квантилями Стьюдента. Доверительный интервал для генерального среднего будет выглядеть так: , где t – табулированное значение квантиля распределения Стьюдента. Для односторонних критериев может быть осуществлена как: - ограничение сверху; a - ограничение снизу.