7.1 Оценка вероятности события

Математические методы обработки экспериментальных данных позволяют оценить вероятность появления случайного события. В этом случае при проведении эксперимента фиксируется качественный показатель, характеризующий проведение эксперимента, а именно формируется бинарный вектор, такой что элемент вектора равен 1, если событие произошло и 0, в противном случае.

y={y1,…yk}

Случайная величина является случайной величиной, имеющей распределение Бернулли.

, где p – вероятность появления события при единичном испытании. По теореме Бернулли при p=m/k. При достаточно больших k (k>20) и p не слишком близких к 0 и 1, распределение Бернулли может быть аппроксимировано нормальным распределением со следующими моментами:

a=k*p; δ²=k*p*(1-p)

Поэтому можно найти доверительный интервал для появления события при одиночном испытании при уровне значимости .

В силу линейности нормального распределения, т.к. и

Можно сформулировать гипотезу о незначимом различии вероятности появления события в сериях испытаний. Предположим, что проведено k-серий испытаний размерности n_i. Необходимо проверить гипотезу о том, что незначимо различаются частоты появления событий w_i в каждой из этих серий.

Для проверки гипотезы о незначимом различии частот появления рассчитывается статистика вида Рассчитывается среднее:

Оказывается, что статистика вида имеет -распределение. Если эта статистика оказывается меньше выбранного критического с необходимым уровнем значимости верно, то гипотеза о незначимом различии частот принимается. В противном случае – отклоняется.

Лекция 8

Критерии согласования плотностей распределения:χ – квадрат, Колмогорова.

Эмпирическая плотность распределения –гистограмма. Квазиоптимальное количество интервалов.

8.1 Критерий согласования

Интегральной статистической характеристикой любого случайного процесса является плотность распределения. Простейшими критериями согласования являются критерии, основанные на сравнении генеральных параметров распределений и из оценок, рассчитанных на векторе наблюдений. Простейшим критерием согласования с Гауссовым (нормальным) распределением является критерий, использующий третий (асимметрия) и четвертый (эксцесс) моменты . которые для нормального распределения имеют следующий вид :

- асимметрия; - эксцесс

Для нормального распределения: A=E=0

E>0

А>0 A=0 A<0 E=0

E<0

Поскольку асимметрия и эксцесс являются определенными статистиками, они имеют соответствующую плотность распределения, которая до настоящего времени недостаточно известна, но получены выражения для дисперсий асимметрии и эксцесса :

;

Можно сформулировать гипотезу: плотность распределения случайной величины x является Гауссовой, если:

8.2 Критерии согласования Колмогорова, Пирсона

Более универсальным критерием согласования является критерий согласования Колмогорова: , где =|Fтеоретическое – Fрассчетное|, а F-функция распределения.

Если , то гипотеза непринадлежности случайных величин к теоретическому распределению принимается.

Мощность критерия заключается в том, что его можно использовать не только для проверки гипотезы нормального распределения, но и любого другого теоретического распределения.

Проверка гипотезы о незначимом различии эмпирических плотностей может быть осуществлена с использованием статистики Пирсона, определяемой формулой

, где и количество попаданий значений случайной величины в соответствующие интервалы эмпирических распределений (гистограмм).

Для построения гистограммы определяются максимальное и минимальное значение Х и Х случайной величины Х. Затем весь диапазон значений разбивается на ряд интервалов. Обычно первоначально выбирают одинаковые интервалы. Их количество k можно определить с помощью наиболее распространенной эмпирической формулы Стэрджеса:

K= 1+3.32lg n,

Где n – общее количество значений случайной величины.

Размер интервала составляет:

Δ =

Для каждого интервала подсчитывается количество попаданий в него значений случайной величины и соответственно частот / , где i – номер интервала. Частоты являются оценками вероятностей попадания случайной величины в соответствующий интервал.

Лекция 9

Методы интерполяции: Лагранжа, Ньютона- Грегори, сплайн.

В ряде случаев , модель порождения экспериментальных данных может рассматриваться как детерминированная и зависимость между величинами устанавливается с помощью интерполяционных методов. Протокол записи данных может быть представлен в массива узлов интерполяции XY=(( . Сущность интерполяции состоит в отыскании связи между элементами массивов числовых данных в виде функциональной зависимости такой ,что f( )= .

Простейшим видом интерполяции является линейная интерполяция, связывающая узлы интерполяции и прямой . Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости записывается в виде

Y=

Таким образом, можно с помощью приведенной формулы найти значения функции Y при любом значении х в требуемом интервале узлов интерполяции.