Метод узловых потенциалов
В методе узловых потенциалов первоначально определяются потенциалы узлов, а затем вычисляются токи в ветвях электрической цепи.
Система уравнений для потенциалов узлов получается в результате применения первого закона Кирхгофа.
Число
уравнений, которые следует записать в
этом случае, определяется разностью
.
Один из узлов электрической цепи
принимается за опорный
(базовый),
его потенциал полагается равным
,
потенциалы остальных узлов будут
определены относительно него. Рассмотрим
схему на
рисунке
2.
Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях. Первый закон Кирхгофа позволяет в рассматриваемом случае составить два независимых уравнения.
|
Рисунок 2 |
Запишем
для первого узла
,
для второго узла
.
Комплексные амплитуды напряжения на
ветвях и комплексные амплитуды токов
в ветвях:
Положим
.
Тогда уравнения, записанные для узлов,
можно представить в виде:
или в виде системы уравнений относительно потенциалов узлов:
Первое
уравнение написано для узла 1.
Сомножителем при
(потенциале этого узла) является сумма
комплексных проводимостей ветвей,
сходящихся
в
узле 1.
Сомножитель при
– комплексная проводимость ветви между
рассматриваемым узлом и узлом 2.
В правой части уравнения – ток источника,
находящегося в одной из ветвей, сходящихся
в узле 1
(источник ЭДС заменен эквивалентным
ему источником тока
).
Второе
уравнение написано для узла 2.
Сомножитель комплексной амплитуды
потенциала этого узла – сумма комплексных
проводимостей всех ветвей, сходящихся
в узле 2.
Сомножитель при
– комплексная проводимость ветви,
расположенной между узлами 2
и 1.
В правой части уравнения – сумма токов
источников, расположенных в ветвях,
сходящихся в узле 2.
Знак минус перед комплексной амплитудой
тока
говорит о том, что ток этого источника
вытекает из рассматриваемого узла.
Предположим,
что в электрической цепи
узел. Тогда необходимо решить систему
уравнений для нахождения потенциалов
узлов. Один из узлов принимают за опорный
и считают потенциал этого узла равным
нулю.
Здесь
- комплексная амплитуда потенциала узла
,
– сумма комплексных проводимостей
ветвей, сходящихся в узле
,
– комплексная проводимость ветви между
узлом
и
,
– алгебраическая сумма комплексных
амплитуд токов источников, расположенных
в ветвях, сходящихся в узле
.
Положительными считаются токи источников,
втекающие в рассматриваемый узел. В
результате решения системы будут
определены комплексные амплитуды
потенциалов узлов. Токи в ветвях,
расположенных между узлами
и
,
можно рассчитать следующим образом:
|
|
|
|
Если в одной из ветвей электрической цепи находится идеальный источник напряжения, опорным следует считать узел, из которого направлен этот источник. Тогда потенциал второго узла источника будет равен его ЭДС. Число неизвестных задачи сокращается.
Билет 14