7 Расчет переходных процессов спектральным методом

На вход цепи (см. рисунок 7.1) с заданными параметрами R₁= R₃=

=40Oм, R₂= 20 Oм, L = 10 мГн, подается импульс напряжения

c U = 20 В, (см. рисунок 7.2). Определить u_L(t) в переходном режиме.

Рисунок 7.1 Рисунок 7.2

Этап 1. Определение спектральной плотности входного сигнала.

Спектральную плотность входного сигнала можно определить с помощью прямого преобразования Фурье:

_(7.1)

.

Проверить правильность расчета интеграла Фурье в среде Mathcad можно с помощью оператора в виде стрелки на панели «Вычисление», позволяющего произвести вычисление символически. В полученном выражении второе слагаемое стремится к нулю, поэтому полученный результат соответствует рассчитанному значению (7.1).

Амплитудно-частотная характеристика входного сигнала.

Фазо- частотная характеристика входного сигнала

Построение графиков АЧХ и ФЧХ спектральной плотности входного сигнала в среде MathСad приведено на рисунке 7.3. Подробно методика построения графиков приведена в разделе 3 данного пособия.

Рисунок 7.3

Этап 2. Определение комплексной передаточной функции для напряжения на индуктивности.

Определим спектральную плотность тока :

(7.2)

Спектральная плотность тока в ветви с индуктивностью:

_{. (7.3)}

Определим спектральную плотность напряжения на индуктивности :

_{. (7.4)}

Комплексная передаточная функция для напряжения на индуктивности:

_{. (7.5)}

Выражения (7.2) и (7.4) приведем в среде MathСad к виду рациональной дроби, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно , с помощью оператора «collect», который находится на панели «Символика».

Выделим АЧХ и ФЧХ комплексной передаточной функции:

_. (7.6)

Построение графиков АЧХ и ФЧХ комплексной передаточной функции для напряжения на индуктивности в среде Mathcad приведено на рисунке 7.4. Подробно методика построения графиков приведена в разделе 3 данного пособия.

Рисунок 7.4

Этап 3. Определение напряжения на индуктивности в функции времени u_L(t).

Запишем спектральную плотность напряжения на индуктивности:

_{. (7.7)}

Заменим на

_{. (7.8)}

Найдем корни характеристического уравнения _,

Для определения напряжения на индуктивности в функции времени используем следующий вид теоремы разложения:

, (7.9)

Запишем итоговое выражение напряжения на индуктивности:

_(7.10)

Определение корней характеристического уравнения (7.8) и функций входящих в теорему разложения (7.9) можно произвести в среде MathСad изложенными выше способами. Результаты расчета приведены в прямоугольной рамке.

Построение графика напряжения на индуктивности в функции времени

в среде MathСad приведено на рисунке 7.5. Для определения порядка значений по оси X рассчитаем и наибольшее значение по оси X выбираем равным наибольшему. Для определения порядка значений по оси Y рассчитаем значения с помощью оператора «substitute» при t= 0.

Подробно методика построения графиков приведена в разделе 3 данного пособия.

Рисунок 7.5