Билет №1.6. Свойства проекций и их величин: проекция суммы векторов, проекция произведения вектора на число, проекция линейной комбинации векторов (с доказательством).

П роекция суммы векторов: Пусть на ось проектируются два вектора и . Проектирование производится параллельно некоторой плоскости Π или некоторой прямой , если векторы и и ось находятся в одной плоскости. Возьмем произвольную точку и построим точки и так, чтобы , и, следовательно, . Если , , – проекции точек , , на ось , то векторы , и являются соответственно проекциями векторов , и . Отсюда получаем: проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов.

Доказательство: этого утверждения, проведенное для двух слагаемых, очевидным образом распространяется на произвольное конечное число слагаемых. В силу равенства получим: или , т. е. величина проекции суммы векторов на ось равна сумме величин проекций слагаемых.

П роекция произведения вектора на число: Покажем, что при умножении вектора на число проекция этого вектора на какую-либо ось Δ и величина этой проекции умножаются на то же число. Пусть и (в противном случае утверждение очевидно). Отложим от точки O оси Δ векторы и , сонаправленные (рис. а) и противоположно направленные (рис. б), т. е. найдем такие точки и , что , . Спроектировав точки и на ось в точки и , получим два подобных треугольника OAA' и OBB'. Теперь сформулированное утверждение очевидно. Итак, .

Проекция линейной комбинации векторов: Пусть , , …, есть произвольная, конечная система векторов (среди этих векторов могут быть и равные), а , , …, есть произвольная система действительных чисел. Вектор называется линейной комбинацией приведенных векторов.

Из равенств и вытекает следующее равенство:

( ) = .

Теорема: Для того чтобы векторы , , …, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через другие.

Доказательство. Пусть векторы , , …, удовлетворяют равенству причем среди чисел , , …, есть отличные от нуля, например . Тогда следует: , т.е. вектор линейно выражается через , , …, . Обратно, пусть один из векторов линейно выражается через остальные, например , перенесём все слагаемые в левую часть равенства и получим , схоже с равенством . Следовательно, векторы линейно зависимы.

Теорема: Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство. Пусть векторы и линейно зависимы. В силу теоремы 2.2, по крайней мере, один из них, например a2, линейно выражается через второй, т. е. , поэтому векторы и коллинеарны.

Обратно, пусть векторы и коллинеарны. Если, по крайней мере, один из них нулевой, например, , то , т. е. векторы и линейно зависимы. Предположим теперь, что векторы и ненулевые. Отложим оба этих вектора от одной точки O, т. е. построим такие направленные отрезки и , что , . В силу коллинеарности векторов и точки O, , будут принадлежать одной прямой Δ. Если точки и совпадают, то = ⇒ = . Пусть теперь точки и не совпадают. Обозначим буквой λ длину отрезка , измеренного масштабной единицей . Если отрезки и одинаково направлены, то . Если же отрезки и противоположно направлены, то .