Билет №1.21. Выражение векторного произведение векторов через координаты перемножаемых векторов (с доказательством). Двойное векторное произведение. Тождество Якоби.

Составим таблицу векторных произведений базисных векторов i, j, k ДПСК (O, i, j, k):

Найдем теперь векторное произведение двух произвольных векторов a= Xi+ Yj+ Zk, b= X'i+ Y'j+ Z'k.

Имеем . (2)

По аналогии с формулой разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки можно записать формулу (2) в виде

Теорема: Пусть a, b, c – три некомпланарных вектора. Отложим их от одной точки O, т. е. построим такие отрезки OA, OB, OC, что OA= a, OB= b, OC= c. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на отрезках OA, OB, OC, взятому со знаком плюс, если тройка (a, b, c) правая, и со знаком минус, если эта тройка левая.

Доказательство: Обозначим буквой V объем параллелепипеда, построенного на отрезках OA, OB, OC, буквой S – площадь параллелограмма, построенного на отрезках OA, OB, и буквой h – соответствующую высоту параллелепипеда (рис). Тогда V = Sh.

О тложим теперь от точки O единичный отрезок OE, перпендикулярный к отрезкам OA, OB и направленный так, чтобы тройка векторов была правой. Очевидно, что a × b = Se. Далее, , причем знак «+» ставится здесь в том случае, если тройка (a, b, c) правая, и знак «–», если эта тройка левая.

Теорема: Для того чтобы три вектора a, b, c были компланарны (линейно зависимы), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю: abc= 0. (1)

Доказательство: Если векторы a, b, c компланарны, то вектор a × b или равен нулю, или перпендикулярен вектору c и, следовательно, (a × b)⋅c = 0, т. е. равенство (1) имеет место. Обратно, пусть векторы a, b, c удовлетворяют равенству (1). Если бы эти векторы были некомпланарны, то можно было бы отложить их от одной точки и построить параллелепипед объемом , что противоречит равенству (1).