4. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости по параметру.

Пусть  . Пусть   - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на  .

Доказательство:

. Интеграл g сходится, следовательно, по критерию Коши сходимости интегралов,  , следовательно, для любого   - это сходящиеся интегралы. Это позволяет в неравенстве перейти к пределу при B, стремящемся к бесконечности: , что возможно, так как   - сходится. Сопоставляя  , получаем что это и есть равномерная сходимость.

5 . Гамма функция. Свойства.

 Гамма-функцией Эйлера называется интеграл 

Свойства   функции:

Область определения  .  . 

Формулы понижения  . Доказательство.

.

,  ,  ,  . Доказательство.Первые два равенства доказываются непосредственно подсчетом интегралов и применением формулы понижения, последнее через формулу понижения. Третье равенство -- частный случай свойства   при  . 

Отметим связь между Гамма- и Бетта-функциями (без доказательства):

6. Бета функция. Свойства.

Свойства   функции:

Область определения  . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой  . Тогда при  выполнено  . Но интеграл   сходится. Аналогично доказывается для второго интеграла. 

.

Формулы понижения  . 

 получается заменой  .

7.Интеграл Фурье.

 Интеграл Фурье для кусочно-непрерывной и абсолютно интегрируемой на   функции f:

где 

     Если f четная, то   интеграл Фурье 

     Если f нечетная, то   интеграл Фурье 

8.Двойной интеграл. Определение. Примеры.

Двойным интегралом от функции   по ограниченной замкнутой области   называется предел интегральной суммы, построенной для функции   при неограниченном увеличении числа разбиений области   на ячейки ( ) и при стягивание каждой ячейки в точку ( ), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области   на ячейки, ни от выбора   в каждой из них.

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.           Обозначение двойного интеграла

9.Сведение двойного интеграла к повторному.

Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде

Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:

то справедливо соотношение

Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.