13.Криволинейный интеграл второго рода.

Предположим, что кривая C задана векторной функцией  , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).  В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осейOx, Oy и Oz, соответственно.

Рис.1		Рис.2

Введем векторную функцию  , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл  . Такой интеграл   называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции   вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где   − единичный вектор касательной к кривой C. 

14.Формула (теорема) Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка  . Тогда справедлива формула Грина

где символ   указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.  Если  , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. 

15.Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции   не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция  , такая, что

В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции   вдоль кривой C от точки A до точки Bвыражается формулой

16.Элементы теории поверхностей.

– вектор-функция переменной t, если . Тогда . Если , то . Аналогично , следовательно, сонаправлен с касательной.

Пусть D – замкнутая ограниченная односвязная область и пусть задано взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение D в пространство: для ). Образ этого отображения называется простой поверхностью.

Поверхностью (общей) называется конечное объединение простых областей.

17.Поверхностные интегралы первого рода.

Рассмотрим скалярную функцию   и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией

где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения   в плоскости uv. Заметим, что функция   рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть

Поверхностный интеграл первого рода от функции   по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные   и   равны

а   означает векторное произведение. Вектор   перпендикулярен поверхности в точке  . 

18.Поверхностные интегралы второго рода.

Рассмотрим векторное поле   и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D(u,v), и что ранг матрицы

равен 2.  Обозначим через   единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхностьS гладкая и векторная функция   непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора:

Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.  Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутреннейнормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.  Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля   по ориентированной поверхности S (илипоток векторного поля   через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина   называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в областиD(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля   по поверхности S записывается в одной из следующих форм:

Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k-компонент вектора нормали является положительным), то

Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k-компонент вектора нормали является отрицательным), то

Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z),R (x,y,z) являются компонентами векторного поля  . Введем cos α, cos β, cos γ − направляющие косинусы внешней нормали   к поверхности S. Тогда скалярное произведение   равно

Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде

Поскольку   (рисунок 1), и, аналогично,  , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:

Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора  , то последняя формула принимает вид

где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D(u,v).

 Сведение Пови-2 к двойному интегралу 

     1. Поверхность S задана параметрически: 

выбор знака перед интегралом согласуют со стороной поверхности, по которой ведется интегрирование.

     2. Поверхность S задана уравнением 

если Пови-2 вычисляется по верхней стороне поверхности S;

для нижней стороны поверхности S.