37. Устойчивость нелинейных систем.

Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.

Признаком устойчивости САУ является существование установившегося состояния. Если отклонение выходной координаты от заданного значения (т. е. ошибка управления) не стремится к постоянной величине или к нулю, а возрастает или испытывает колебания, то САУ неустойчива. Причинами неустойчивости могут быть инерционность элементов и большой коэффициент передачи разомкнутой системы, так как многократно усиленное рассогласование, возвращающееся по цепи обратной связи на вход системы, не успевает из-за запаздывания в инерционных элементах отрабатываться.

Не останавливаясь на теоремах, доказанных Ляпуновым, рассмотрим, как можно оценить устойчивость линейных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида

.

(5.1)

Решение этого уравнения содержит две составляющие, одна из которых,   (свободная или переходная составляющая), определяется решением однородного дифференциального уравнения:

(5.2)

при начальных условиях:  ;  ;  ; ... .

В линейных системах, для которых справедлив принцип суперпозиции,   не зависит от воздействий, а определяется только параметрами системы. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову, САУ асимптотически устойчива, если с течением времени при   свободная (переходная) составляющая решения линейного дифференциального уравнения будет стремиться к нулю. На рис. 5.1, а показаны  , соответствующие устойчивым, а на рис. 5.1, б – неустойчивым системам.

Поведение свободной составляющей определяется решением однородного дифференциального уравнения

,

(5.3)

где   – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий;  – корни характеристического уравнения  .

Рис. 5.1. Свободные составляющие переходного процесса в САУ: а - в устойчивых, б - в неустойчивых

Для оценки условий устойчивости необходимо выяснить, когда выражение (5.3) будет стремиться к нулю. Так как система линейная, на значение свободной составляющей влияют только корни характеристического уравнения, которые зависят от структуры и параметров системы. Эти параметры – вещественные числа. Следовательно, вещественными являются и коэффициенты характеристического уравнения, определяемые параметрами системы и их комбинациями, а это означает, что корни уравнения могут быть либо только вещественными, либо комплексно-сопряженными:

,  ,  .

(5.4)

Если вещественных корней  , а комплексно-сопряженных  , то свободная составляющая может быть записана в следующем виде:

,

(5.5)

откуда следует, что   при   тогда и только тогда, когда все   и   отрицательны.

На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости, называются правыми.

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения являются левыми.

Так как при расположении корней слева от мнимой оси система устойчива, а справа неустойчива, то мнимую ось называют границей устойчивости. Если хотя бы один корень расположен на этой оси, то систему нельзя считать работоспособной, потому что малейшие изменения параметров могут привести к потере устойчивости.

Для оценки устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.