Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

Литература: [1, гл.5]; [2, гл. 3]; [3, гл. 5, задачи 1,4,5,8, 9, 11, 13, 20, 25].

В теории изгиба важную роль играют моменты инерции, поэтому следует рассмотреть этот вопрос предварительно в виде самостоятельной темы. Перед изучением этой темы полезно по учебнику теоретической механики повторить материал о статическом моменте и о нахождении центров тяжести плоских фигур. При вычислении моментов инерции надо помнить, что они представляют собой интегралы или типа (осевой, или экваториальный, момент инерции относительно осей z и у) или типа (центробежный момент инерции относительно осей z и у).

Необходимо запомнить, что теорема о переносе осей ( ) справедлива только в том случае, если ось у проходит через центр тяжести фигуры. Если, например, известен момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание, то нельзя при помощи теоремы о переносе осей сразу найти момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию; сначала необходимо при помощи этой теоремы найти момент инерции относительно центральной оси, а затем определить момент инерции относительно оси, проходящей через вершину. Формула переноса осей наглядно показывает, что наименьшим из моментов инерции относительно нескольких параллельных осей является момент инерции относительно той оси, которая проходит через центр тяжести.

Наименьшим из моментов инерции относительно центральных осей, наклоненных под разными углами, является момент инерции относительно одной из главных центральных осей. Относительно другой главной оси, перпендикулярной к первой, момент инерции имеет, наоборот, наибольшее значение. Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю; при этом совсем не обязательно, чтобы главные оси проходили через центр тяжести, так как через любую точку, лежащую в плоскости фигуры, можно провести такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции будет равен нулю. В теории изгиба весьма важную роль играют главные центральные оси, положение которых для несимметричных сечений определяют так:

1) сначала проводят случайные оси, вычисляют статические моменты сечения относительно этих осей (разделив предварительно сложную фигуру на ряд простых фигур) и находят положение центра тяжести сечения;

2) проводят через центр тяжести всего сечения оси, параллельны (первоначально выбранным случайным осям, и находят при помощи теоремы о переносе осей центробежный и осевые моменты инерции сечения относительно этих новых осей;

3) находят положение главных центральных осей и и υ по формуле ,

4) находят главные центральные моменты инерции.

Для проверки правильности вычислений и можно использовать равенства: и .

Следует иметь в виду, что при помощи этих равенств можно проверить вычисления только по п.п. 3 и 4; соблюдение этих равенств не гарантирует правильности вычислений, сделанных в п.п. 1 и 2.

Если сечение состоит из ряда прокатных профилей, то необходимо при вычислениях пользоваться данными таблиц сортамента. При определении центробежного момента инерции уголка (равнобокого или неравнобокого) не следует делить площадь этого уголка на два прямоугольника; сначала можно найти центробежный момент инерции всего уголка относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам, при помощи формулы, в которой использованы обозначения таблиц сортамента:

где и – главные центральные моменты инерции, значения которых даны в таблицах сортамента; после этого надо применить формулу переноса осей и найти центробежный момент инерции уголка относительно центральных осей всего сечения.

При пользовании формулой поворота осей надо обязательно обратить внимание на знак угла а: если для совмещения оси х₀ с осью х надо повернуть ось х₀ по часовой стрелке, то угол а следует считать отрицательным.

После изучения этой темы можно решать задачу 7, включенную в контрольные работы.

Вопросы для самопроверки.

1. По каким формулам находят координаты центра тяжести плоской фигуры?

2. Чему равна сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей?

3. Какие оси называются главными?

4. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных центральных осей?

5. Относительно каких центральных осей осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения?

6. Какой из двух моментов инерции треугольника больше: относительно оси, проходящий через основание, или относительно оси, проходящей через вершину параллельно основанию?

7. Какой из двух моментов инерции квадратного сечения больше: относительно центральной оси, проходящей параллельно сторонам, или относительно оси, проходящей через диагональ?

8. Какой из двух главных центральных моментов инерции полукруглого сечения больше: относительно оси, параллельной диаметру, ограничивающему сечение, или относительно перпендикулярной оси?