Глава 4

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ

4.1. Основные понятия и определения математической картографии

В своей практической деятельности судоводитель постоянно имеет дело с морскими навигационными картами, поэтому ему необходимо знать основные сведения по картографии, изучаю­щей составление, изготовление и использование карт и планов. Картография подразделяется на математическую картографию, картометрию, картоведение и другие разделы.

Первой ступенью в процессе создания карты является мате­матическая картография — наука о математической основе карт, способах и средствах использования карт и картографиче­ских проекций для различных измерений. Составной частью ма­тематической картографии является картометрия, изучающая способы и средства выполнения измерений ло картам. Картове­дение изучает свойства и элементы карт, возможности их ис­пользования на практике, историю развития.

Изобразить земную поверхность, т. е. поверхности сферы на плоскости, сложно. Поверхность сферы не может быть разверну­та на плоскость без искажений. Почему это так? Как можно ис­следовать характер этих искажений?

В математической картографии-под развертыванием одной поверхности на другую понимают такое преобразование первой поверхности изгибанием, при котором сохраняются все элемен­ты се внутренней геометрии, а именно углы, площади, Гауссова кривизна, а также свойство кратчайших линий оставаться крат­чайшими. Последнее свойство, по терминологии проф. В. В. Кав- райского, называется ортодромичностью.

Для того чтобы понять, что такое Гауссова кривизна, необ­ходимо обратиться к дифференциальной геометрии, которая ут­верждает, что в любой точке каждой поверхности существуют два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, имеющих наибольший и наименьший радиусы кривизны по сравнению с другими нормальными сечениями. Они называются главными радиусами кривизны в данной точке поверхности (рис. 4.1). Га­уссова кривизна k, являющаяся мерой кривизны поверхности в данной точке,

(4 1)

где Ri и Ri — главные радиусы кривизны.

60

Рис. 4.1. Главные радиусы кривизны плоскости

Рис. 4.2. Главные радиусы кривизны цилиндра

При изгибании любой поверхности произведение, стоящее в знаменателе формулы (4.1), а следовательно, и сама Гауссова кривизна, остаются постоянными, хотя значения главных радиу­сов кривизны R1 и R2 изменяются. Одну поверхность можно раз­вернуть на другую в том и только в том случае, если они имеют одинаковую Гауссову кривизну.

Рассмотрим возможность развертывания некоторых наиболее распространенных поверхностей на плоскость. В знаменателе Гауссовой кривизны плоскости £_мл стоит произведение радиусов кривизны двух прямых линий АВ и CD R\ и R2 соответственно (см. рис. 4.1), каждый из которых равен ■бесконечности: Ri = = R₂ — 00. Следовательно, к_ил = 1/(оо оо) = 0.

Гауссова кривизна цилиндра (рис. 4.2) k_LX = \KR1R2) = — \/(R 100) = 0, поскольку R₂ есть радиус кривизны прямой ли­нии, который, как известно, равен бесконечности.

Гауссова кривизна конуса (рис. 4.3) k_K = {/(RiRi) = = 1/(/?,оо) = 0, где R-2 = оо. Так как k_n:i = = k_K = 0, поэто­му цилиндр и конус можно развернуть на плоскость.

Гауссова кривизна шара k_w (рис. 4.4) есть величина постоян­ная, отличная от нуля:

Am = 1 l(RR) = 1 !R\ (4.2)

Так как главными радиусами кривизны сфероида являются радиус кривизны меридианного сечения М и радиус кривизны сечения первого вертикала N, Гауссова кривизна сфероида

&сф = 1 f(MN). (4.3)

Очевидно, что эта величина переменная, зависящая от широ­ты исследуемой точки.

61

Рис. 4.3. Главные радиусы кривизны конуса

Рис. 4.4. Главные радиусы кривизны шара

Сравнение формул (4.1), (4.2) и (4.3) показывает, что шар и сфероид нельзя развернуть на плоскость, а, следовательно, и на цилиндр и конус. Шар нельзя развернуть на сфероид, и нао­борот. Изобразить же шар и сфероид на плоскости можно раз­личными способами, имея в виду при этом, что будут неизбеж­ны те или иные искажения элементов внутренней геометрии. Если сохранить углы, то кратчайшие линии на шаре или сферо­иде не будут прямыми па плоскости, т. е. не будет сохранена ортодромичность, и масштаб площадей не будет постоянным. Сохранение постоянства масштаба площадей неизбежно приве­дет к искажению углов и нарушению свойства ортодромичности.

Попытка сохранить ортодромичность вызовет искажение уг­лов и непостоянство масштаба площадей. Следовательно, на любой карте неизбежны искажения элементов внутренней гео­метрии земного сфероида. Картой (географической, навигацион­ной и т. д.), по определению проф. В. В. Каврайского, н а з ы в а ет - ся уменьшенное, обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, полученное по определенному математическому закону. Этот математический закон, по которому осуществляет­ся связь между положением точки на картографируемой поверх­ности и положением изображения той же точки на карте, назы­вается картографической проекцией.

В общем виде это можно записать гак:

где .V и sj — координаты изображения точки в системе картографических прямоугольных координат хсу\ /) и /₂ — математические функции, необходи­мые для связи между этими системами координат; (j и /. — коорднначи той же точки на земной поверхности.

(44)

62

Рис. 4.5. Часть развертки поверхнос- Рис. 4.6. Границы плоского изобра­зи глобуса жения сферы

Очевидно, что вид функций может быть произвольным и их можно подобрать бесконечно много. При выборе этих функций из бесконечного ряда учитывают два ограничения, которые должны действовать по крайней мере в части карты, предназна­ченной для практического пользования. Во-первых, изображение должно быть однозначным, т. с. точка М₀ на земной поверхно­сти должна изображаться только одной точкой М на плоскости проекции. Во-вторых, изображение должно быть непрерывным, т. е. непрерывному перемещению точки М₀ по земной поверхно­сти должно соответствовать непрерывное перемещение ее изо­бражения на плоскости проекции. Нарушение этих двух ограни­чений видно на рис. 4.5, где: изображено несколько секторов плоской развертки поверхности глобуса, которая в силу этих на­рушений не может рассматриваться, как карта. Точке Af₀ на земной поверхности соответствуют две точки At, и непрерывное перемещение ее изображено штриховой линией AM₀M₀BCD.

Планом называется такое изображение земной поверхности на плоскости, в котором искажения не выходят за пределы гра­фической точности. За меру графической точности можно при­нять 0,2 мм, что соответствует диаметру следа от укола цирку­лем. Для планов характерны постоянство масштабов и отсутст­вие искажений углов.

Рассмотрим, какой же участок земной поверхности можно принять за плоскость, чтобы получающиеся при таком допуще­нии ошибки в изображении этого участка па плане не превыси­ли желаемой величины.

Опишем на сфере окружность ВС сферическим радиусом ЛВ = р (рис. 4.6). Изображая поверхность сегмента ВАС на пла­

63

не крутом, радиус которого равен выпрямленной дуге р, допус­кают известную ошибку, происходящую от того, что сферический радиус АВ=^р принимают равным радиусу ВК = г круга ВС. Рассмотрим, насколько велика эта ошибка. Примем радиус Земли равным R, тогда

р = RB. (4.5)

Ошибка Л, вызванная заменой сферического радиуса р ра­диусом г, при «разглаживании» сегмента ВАС Л = 2л(р — г). Поскольку из ДЯЛ'О г = 7?sin В, формула для нахождения раз­ности радиусов будет следующей:

Р_г = де — tfsin е = R(® — sin в). (4.6)

Разлагая sin в в ряд и ограничиваясь в виду малости угла в членом ряда, содержащим третью степень этого угла, получим sin в ~ 0 — 6³/6. Подставим его в формулу (4.6): о — г — = #(© — 0 + 076) - #0³/6. Поскольку из равенства (4.5) в = p/iR, последняя формула примет вид р — г — Rcyj{&R^z) — = р³/(6Я²). Поэтому Д = 2лр*f(6R²) = лр³/(ЗЯ²).

Найдем обратную зависимость радиуса окружности земной

з

поверхности р от ошибки Д: р = }ЗД/?²/л. Предположим, что ошибка не должна превышать 2 м. Из этого условия определит­ся и радиус того участка Земли, который можно принять за плоскость при поставленном условии. Принимая R = 6371 км, получим, что р = 42,6 км. Следовательно, только участок радиу­са размером не более 42,6 км может быть принят за плоскость. Если же ошибка не должна превышать 4 м, то радиус участка возрастет до 53,7 км.

4.2. Масштабы планов и карт

Рассмотрение картографических проекций начнем с тесно связанных с ними вопросов о масштабах. При составлении пла­нов небольших участков местности изображение снимаемых объ­ектов делается с полным сохранением подобия, но с уменьше­нием размеров. Масштабом плана р называется отношение лю­бой длины отрезка I на плане к соответствующей длине отрезка 1о на земной поверхности: ц = Ш₀. Это численный масштаб пла­на. Обычно его записывают в виде дроби с числителем 1, т, е.

И - 1 /(/о//) = 1/С- 1 :С,

где С ■ знаменатель численного масштаба, который обычно бывает круглым числом (С -- /[>//) .

На навигационных планах России по крайней мере три его последних цифры — это нули. Например, р= 1 : 10000. 64

Рис. 4 7. Линейный графический 10 12 3кйт масштаб lmilmil < --I .i

Кроме численного масштаба, для измерения расстояний на планах часто применяют графические масштабы, представляю­щие собой шкалу или диаграмму, с которой, не прибегая к рас­четам, можно снимать циркулем-измерителем расстояние, соот­ветствующее на плане заданному числу единиц на земной по­верхности. Такие графические масштабы называются линейными (рис, 4.7).

В отличие от масштаба карты во всех точках и по всем на­правлениям масштаб плана имеет одно и то же значение.

Предельной точностью масштаба называется длина линии на местности, соответствующая длине отрезка на плане, равной 0,2 мм. Например, для ц=1 : 10000 предельная точность масштаба равна 0,2-10 000 = 2000 мм, или 2 м. Предель­ная точность масштаба показывает наименьшую длину отрезка на местности, которую можно измерить по данной карте.

Частным масштабом проекции или карты р. в данной точке по данному направлению называется отношение бесконечно ма­лого отрезка dl в проекции к соответствующему отрезку dlo на изображаемой поверхности:

ц = dlj(dU) « l/[d/_ft/(di)] = 1 /С, где С — знаменатель частного масштаба.

В силу неизбежных искажений на карте частный масштаб изменяется при переходе от одной точки к другой и в общем случае в одной и той же точке при переходе от одного направле­ния к другому. Между тем на картах всегда есть подписанный масштаб который носит название главного масштаба карты. Он представляет собой некоторый средний масштаб в пределах карты, соблюдаемый только в некоторых точках или по некото­рым линиям. На морских навигационных картах нашей страны он обычно дается по определенной параллели, значение кото­рой указано в заголовке. При этом сама параллель может на­ходиться за пределами данной карты и являться общей для не­скольких карт определенного географического района. Это зна­чительно облегчает работу судоводителя при переходе с карты на карту в определенном районе. На картах нашей страны зна­менатель главного масштаба Со выражается круглым числом, заканчивающимся пе менее чем тремя нулями.

В чем физическая сущность главного масштаба, постоянного для всей карты, на которой частный масштаб изменяется от точ­ки к точке и по разным направлениям? Предположим, что для переноса земной поверхности на плоскость в определенной кар­тографической проекции вначале изобразили Землю в заданном

65

масштабе на глобусе. Очевидно, что масштаб такого глобуса или отношение длины любой линии ds на глобусе, служащем ос­нованием для построения карты, к соответствующей длине ли­нии на земной поверхности будет постоянным: р₀ = dsj{dsa) — = 1 /Со = const. Здесь ds₀ Этот постоянный масштаб тео­

ретического глобуса и называется главным масштабом карты.

Отношение частного масштаба р к главному масштабу ро называется увеличением масштаба с или просто уве­личением: с ~ р/р₀ = Со/С = dldsoi(dl₀ds) = dlf(ds), по­скольку dso и dlo — длина одного и того же отрезка на земной поверхности. Оно представляет собой множитель, на который нужно умножить главный масштаб ро, чтобы получить частный масштаб р. Чем ближе увеличение к единице на всем протяже­нии карты, тем меньше искажения изображений и тем совершен­нее выбранная проекция. Увеличение масштаба связано с иска­жением длин V.

Искажение длин v — с— 1 = dl/(ds) — 1 = (dl — ds)/(ds). Его часто выражают в процентах: и = (с— 1)100% = (CoJC ~ — 1)100%. Пусть главный масштаб р₀ = 1: 200 000, а частный р = 181818, тогда увеличение с = 200 000/181 818= 1,1, а относи­тельное искажение длин t?=I0%, т. е. малый отрезок линии на карте около данной точки по данному направлению на 10% больше, чем соответствующий отрезок на глобусе, построенном в главном масштабе карты. Частный масштаб и увеличение масштаба имеют одинаковые законы изменения, поэтому право­мерно в дальнейшем использовать термин «масштаб» вместо термина «увеличение масштаба».

4.3. Элементы теории изображений

Общие положения. Установим некоторые общие свойства, присущие всем способам изображения земной поверхности на плоскости. Любое изображение стремятся получить так, чтобы оно возможно точнее выражало характерные черты оригинала. Если говорить об изображении земной поверхности на плоско­сти, которое невозможно получить с сохранением подобия ори­гиналу, следует выставить такое требование, которое было бы достижимым и вместе с тем достаточно общим и объединяющим различные способы изображения. В качестве такого требования выставляется требование непрерывности изображения, из кото­рого следует афинность изображений бесконечно малых фигур. Афинным называется такое изображение, при котором парал­лельные прямые на одной поверхности изображаются парал­лельными прямыми на другой поверхности, т. е. афинное изо­бражение параллелограмма будет параллелограммом, и прямо­угольник изобразится также параллелограммом.

66

Рис, 4.8. Окружность бесконечно малого радиуса г₀ (а) и эллипс искаже­ний (б)

Кроме свойства сохранения параллельности прямых, можно выделить другие свойства афинного изображения. При нем пря­мая в пределах бесконечно малой области изобразится прямой линией. Масштаб площадей сохраняется постоянным, масштаб изображения не зависит от положения точки, т. е. остается по­стоянным вдоль прямых в бесконечно малых областях, но может изменяться при переходе от одного направления к другому.

Свойства, выведенные из свойства афинности бесконечно малых изображений, являются общими свойствами всех карто­графических проекций. Характер, направление и размер иска­жений каждой проекции могут быть охарактеризованы посред­ством эллипса искажений.

Выберем на земной поверхности у точки О₀ окружность бес­конечно малого радиуса г₀ и точку на этой окружности (рис. 4.8, с). Перенесем на плоскость проекции отрезки меридиана и параллели точки О₀, ограниченные бесконечно малой окружно­стью (рис. 4.8,6). В общем случае вследствие бесконечно мало­го их размера по свойствам афинного изображения они изобра­зятся прямыми линиями, но пересечение их в точке О уже не образует прямого угла. Прямоугольные координаты х₀ и y_Q точ­ки М₀ окружности на земной поверхности стали косоугольными координатами х и у точки М на плоскости проекции. По свой­ствам афинного изображения масштаб вдоль линий в пределах бесконечно малой окружности и ее изображения на плоскости также остается постоянным. Обозначим масштаб вдоль мериди­ана буквой т и масштаб вдоль параллели буквой п. Тогда

т = л'/А'о; ") _л - */„} <^{4 7)}

Так как на земной поверхности была взята окружность, ее уравнение имеет вид

*²о + у² о = г\.

67

Если в это уравнение подставить значения л'о и у₀ из формул выражения (4.7), получим уравнение кривой, изображающей ис­ходную бесконечно малую окружность на плоскости проекции в данном масштабе: х²(т'^г + y²jn² = г²₀, или x²\(m^lr² ₀) + + i/'!(n²r²о) = 1. Это есть уравнение эллипса в сопряженных по­луди амстрах г₀т и r_Gn.

Мысленно поворачивая взаимно перпендикулярные диаметры вокруг точки Оо, получим в силу непрерывности изображения поворот диаметров эллипса и изменение угла между ними. Этот поворот прекратим тогда, когда два взаимно перпендикулярных направления на сфероиде изобразятся двумя взаимно перпенди­кулярными направлениями на плоскости проекции, совпадаю­щими с главными осями эллипса — полуосями а и Ь. Эти вза­имно перпендикулярные направления называются главными (рис. 4.9). Масштабы вдоль главных направлений принимают экстремальные значения: c_max = ajr₀ и c_mir, = bjr₀ или при еди­ничном радиусе г:

Стаж = а н С_т1п = Ь. (4.8)

Эллипс конечных размеров, геометрически подобный эллип­су, изображающему в проекции бесконечно малый круг на сфе­роиде, называется эллипсом искажений.

Масштабы по произвольному направлению. Выразим мас­штабы вдоль главных направлений с_т&х и с_т\_п через полуоси эл­липса а и Ь. На основании свойств афинного изображения и по формулам выражения (4.8) получим (см. рис. 4.9): а = л:/х₀\ b = yjy_Qw Масштаб по направлению ОМ будет равен cjr₀ или просто с, если его выразить в частях радиуса г₀. На основе дан­ных рис. 4.9 получим: ccosU = x; cs\nV=y. Так как х = ах₀; у = 6i/o, то с cos U = ах₀ и с sin V = by₀. При единичном радиу­се r_Q = J получим: л'о = r₀cos U₀ — cos Uo\ y_Q = r₀sin Uo = sin U₀.

68

Поэтому

с cos U = a cos Uо; 1

\ (4.9)

с sin V = b sin Uo- )

Возведя каждую строку в квадрат и просуммировав, получим: с² — = a²co$²U₀-\-b²s'm²U₀. По этой формуле рассчитывают масштаб по произволь­ному направлению, составляющему на сфероиде угол U₀ с одним из главных направлений.

Для того чтобы получить значения а и Ь, входящие в формулу, можно воспользоваться уравнением проекции. Иногда бывает более удобным опреде­лить по уравнениям проекции масшта­бы но меридиану т и параллели ti в точке О, а также угол между мери­дианом и параллелью (рис. 4.10).

Простой и достаточно точный под­счет т и п может быть выполнен приближенным способом, для чего необходимо:

измерить в миллиметрах от заданной точки карты конечные отрезки меридиана и параллели;

выбрать из картографических таблиц длины тех же отрезков и уменьшить их в соответствии с главным масштабом карты;

разделить длины отрезков меридианов и параллелей, изме­ренных на карте, на уменьшенные значения, полученные из таб­лиц.

Угол между меридианом и параллелью карты можно изме­рить транспортиром.

Из аналитической геометрии известны две формулы Аполло­ния, определяющие зависимость между главными и сопряженны­ми полудиаметрами эллипсов: а² Ь² = т² + я²; ab = mns'm Найдя т, я и 1)41 решая совместно эти два уравнения, можно вычислить значения а и Ь:

a -j- b = 1^,т^г 4- п^г + 2tfi»sin 1}:; й — b = }'m^z + п² — 2mnsin if.

Искажение направлений. Разделим в системе уравнений (4.9) вторую строку на первую и получим tgU — (bja)igU₀. Полу­ченное выражение устанавливает зависимость между направле­нием и₀ на сфероиде и соответствующим ему направлением U на плоскости проекции. Напишем два тождества:

Рис. 4.Ю. Графическое по­строение масштабов по ме­ридиану п параллели

lgt/o - tg U = tg Uа - tgUobja- tg U₀ + \gV = tg^o + tgU₀bfa.

69

Воспользуемся формулой плоской тригонометрии для суммы и разности тангенсов двух углов tg а ± tg f> = sin (а ± (3)/ (cos acos р) и получим

sin(l/,~y) ^ ___{т = tuU9<a}__b)la.

(cost/0 coso)

sm(U«+ V) _{g + bja) = +}

(cost/o coso)

Разделим первое выражение на второе: sin(C/o/£/)/sln({/o-{- 4- V) = (а — b)f(a + b), тогда sin(U_Q — V) = [{a — b)j(a + + b)]s\n (Uo + U), В левой части этого выражения в скобках разностью представлено искажение направлений о>о = ^о — ^Л поэтому sin «о = [{а — b)i{a-\- fr)]sin (U_Q -J- U).

Наибольшее значение искажение направлений будет иметь при sin (Uo + U) = 1, т. е. при U_Q + V = 90°.

Тогда

sin о)₀ = (a — b)l(a + Ь). (4Д0)

Это равенство является формулой для нахождения наиболь­шего искажения направлений.

Направления U₀ и U отсчитывают относительно главных на­правлений, т. е. они не являются азимутами, которые отсчиты­вают относительно меридиана. В некоторых картографических проекциях, применяемых в судовождении, главные направления, т. е. оси эллипса искажений, совпадают с меридианом и парал­лелью. В этом случае вместо направлений Uq и U можно напи­сать азимуты А о и Л:

sin <а₀ = [{a — b)!{a + fe)]sin+ А).

Искажение углов. Любой угол может быть представлен как разность двух направлений. Искажение угла будет наибольшим при искажениях направлений, образующих данный угол, равных между собой и противоположных по знаку. Для этого стороны угла должны располагаться в наиболее искажаемых направле­ниях симметрично одному из главных направлений. Наибольшее искажение угла ы = 2мо- По формуле (4.10) получим выраже­ние для определения наибольшего искажения утла в данной точке: sin(о>/2) = (a—b)/{a + b).

Искажение площадей. Масштаб площади р может быть рас­считан как отношение площади эллипса на плоскости проекции к площади бесконечно малого круга на поверхности сфероида: р = SJS = ла6/(яг^г₀) = abfr²₀.

При единичном радиусе г₀ — 1 р — а.Ь.

Если выбрать в качестве координатных линий меридианы и параллели, то по второму уравнению Аполлония р = mnsin ф. В этой формуле масштаб площади выражен через масштабы по меридианам и параллелям. В некоторых картографических про- 70

екциях, применяемых в судовождении, главные направления, или оси эллипса искажений, совпадают с меридианом и парал­лелью, т. с. \}) = 90^о, поэтому р = тп.

Координальные и картографические сетки. Положение любой точки на картографируемой поверхности определяется той или иной системой пространственных или поверхностных координат. Координатными линиями называются геометрические места то­чек, отвечающие постоянству одной из координат. Например, ме­ридианами являются координатные линии, для которых долгота постоянна (Я = const), а параллелями — координатные линии, для которых широта постоянна (<р = const). Существует боль­шое число координатных систем и соответствующих им коорди­натных линий на земной поверхности. Система координатных линий, нанесенная на земной сфероид, образует координатную сетку.

Картографической сеткой называется изображение на плос­кости проекции координатной сетки. Так, картографической сет­кой является изображение на карте географических меридианов и параллелен.

Исключив из уравнений картографической проекции (4.4) широту ф, получим уравнение меридианов на плоскости в про­екции F\(x, у, X) — 0, а исключив долготу X, — уравнение па­раллелей F?(x, у, ф) = 0.

Картографическая сетка будет иметь наиболее простой вид, если проекция описывается уравнениями х = /:(ф); г/=г(Х). В этом случае параллели и меридианы изображаются взаимно перпендикулярными прямыми. При х = Мф) ^и У ⁼ Мф. ^па~ раллели изображаются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс, а меридианы — кривыми. При * = Ыфi^) ^и = меридианы — это прямые линии, параллельные оси ординат, а параллели — это кривые линии. При х = M<pia) ^и У — МФ- '») можно получить проекции с разнообразными картографически­ми сетками, вид которых зависит от fi и f₂.

Различные координатные системы на изображаемой поверх­ности могут изображаться в данной проекции картографически­ми сетками различного вида. Для примера рассмотрим перспек­тиву шара лучами зрения, идущими из бесконечности перпенди­кулярно картинной плоскости /С, называемую ортографической проекцией (рис. 4.11). Па рисунке изображены три случая ор­тогонального проецирования шара на плоскость: в первом слу­чае географический полюс Ро совпадает с полюсом z₀ системы сферических координат, через который проходит диаметр шара перпендикулярно картинной плоскости Л\ во втором случае по­люс Pq отстоит от него на 90^е, а в третьем он занимает проме­жуточное положение между 0 и 90°. Во всех трех случаях полу­чились картографические сетки, имеющие различный вид, хотя способ проецирования применен один и тот же. Первая из них

71

Рис. 4.11. Картографические сетки ортографической проекции

называется нормальной (рис. 4.11,а), вторая — попереч­ной (рис. 4.11, б), третья — косой (рис. 4.11, в).

Основной формальный признак нормальной картографичес­кой сетки заключается в перпендикулярности координатных ли­ний. Обычно такие сетки имеют простой вид. Наиболее простой является сстка на рис. 4,И,а, которая состоит из радиальных прямых линий и окружностей, в то время как сетка на рис. 4.11,6 и в составлена из произвольно пересекающихся прямых и кривых второго порядка.

Для построения на плоскости картографической сетки при известных функциях f\ и /г задаются круглыми значениями (р и Л, например через 2, 5 или 10°, затем вычисляют соответствую­щие значения картографических прямоугольных координат х и у точек пересечения меридианов и параллелей. После нанесения этих точек на бумагу их соединяют плавными линиями и полу­чают картографическую сетку меридианов и параллелей. Со­ставляют карту на основе картографической сетки, рассчитан­ной по формулам данной проекции. Таким образом, взаимная зависимость между картографической проекцией и соответству­ющей ей картографической сеткой есть зависимость между ана­литическим и графическим выражением одной и той же функции.

4.4. Классификация картографических проекций

В основу классификации картографических проекций могут быть положены различные признаки, общность которых позво­ляет выделить отдельные классы проекций. При этом одни и те же проекции в зависимости от признака могут попасть в разные классы. Самым существенным признаком проекций являются ис­кажения. свойственные данному изображению. Характер изо­бражений всецело зависит от самой проекции. При выборе про- 72

екции для составления той или иной карты этот признак играет решающую роль, поэтому классификация проекций по характе­ру искажений заслуживает наибольшего внимания.

В равноугольных проекциях не искажаются углы, т. е. из формулы tgU = (bfa)tgUo следует, что U = U₀ во всех точках равноугольной проекции.

На картах, составленных в равноугольных проекциях, сохра­няющих подобие бесконечно малых фигур, бесконечно малая окружность на сфероиде изобразится также окружностью, а не эллипсом на плоскости проекции (рис. 4.12,а), следовательно, а = b = с = m — п, т. е. масштаб в данной точке по всем на­правлениям постоянен. При переходе же от точки к точке мас­штаб изменяется. Это значит, что эллипс искажений представ­ляется в разных местах окружностью разных размеров.

Частный масштаб на картах в равноугольной проекции зави­сит только от положения, но не от направления измеряемой ли­нии, поэтому можно проводить измерения линий по частям. Мор­ские навигационные карты строят в равноугольной цилиндриче­ской проекции, масштаб которой изменяется только с широтой, оставаясь постоянным на данной параллели. В качестве линей­ного масштаба на этих картах служат разделенные в единицах измерения широты вертикальные части рамки карты. Углы и азимуты на картах в равноугольной проекции измеряют транс­портиром. Их значения равны соответствующим значениям на

о) о 30 SO 30 §) 0 30 60 90

и_: ... _ ₈₅ и; _

Рис. 4.12. Изображение эллипса искажений в равноугольной (а) и равно­великой (б) цилиндрических проекциях

73

местности, что значительно облегчает решение многих задач су­довождения. Равноугольные проекции довольно правильно пе­редают форму всех объектов земной поверхности, но на боль­ших площадях не дают верного представления об их размерах, так как увеличение площадей может быть значительным, что вытекает из условия, что р = а² = с² — т² = я², т. е. большого колебания масштабов в пределах карты. В равноугольной ци­линдрической проекции Гренландия изображается размером поч­ти с Африку, в то время как по площади она значительно мень­ше. Это происходит потому, что на этих картах увеличение мас­штаба на широте Гренландии в 2 раза больше, чем на экваторе.

Меридианы и параллели нормальной картографической сет­ки пересекаются под прямыми углами так же, как на сфероиде-

Проекции, в которых изображения на картах сохраняют по­стоянство масштабов площадей, называют равновеликими. В этих проекциях любая бесконечно малая окружность на гло­бусе изобразится на карте эллипсом, но площадь эллипса иска­жений, как правило, повсюду равна площади круга на сфероиде, будет меняться лишь его форма (рис. 4.12,6). Условие равнове- ликости р = const, но чаще всего р= 1. В этих проекциях вслед­ствие искажения углов сильно искажаются контуры. В судовож­дении равновеликие проекции применения не нашли.

Равнопромеж у точные проекции сохраняют постоян­ный масштаб длин по одному из главных направлений, т. е. а = = 1 или b = 1, где а и 6 — увеличения масштабов по главным направлениям. В этих проекциях одна из полуосей эллипса ис­кажении независимо от его положения на карте будет постоян­но равна радиусу соответствующей малой окружности на глобу­се (г=1). По размерам искажений равнопромежуточные проек­ции занимают промежуточное положение между равноугольны­ми и равновеликими.

Произвольные проекции — это все прочие проекции, не обладающие перечисленными выше свойствами.

Другим признаком для классификации проекций является; вид линий, которыми изображаются меридианы и параллели нормальной картографической сетки. Классификация проекций по виду нормальной сетки наиболее наглядна и вместе с тем наиболее проста, поэтому она легче всего воспринимается. Клас­сификация по этому признаку касается только проекций в нор­мальном положении, вид косых или поперечных сеток будет уже другим, ие охватываемым классификацией.

Коническими (рис. 4.13) называют проекции, в которых меридианы изображаются всегда радиальными прямыми, пере­секающимися под углами, пропорциональными разностям дол­гот, т. е. не равными соответствующим углам в натуре. Обозна­чая угол между начальным меридианом и любым меридианом 74

р

о я

Рис. 4.13. Нормальная сетка кони- Рис. 4.14. Принцип построения кони­

на карте буквой 6, а долготу соответствующего меридиана на глобусе буквой к, получим:

где а — коэффициент пропорциональности, называемый показателем ко­нической проекции (0<а<1).

Можно получить коническую проекцию, описав около глобу­са касательный (рис. 4.14) или секущий конус, Спроецируем на его поверхность тем или иным способом меридианы и паралле­ли. Разрезав поверхность конуса по некоторой образующей и развернув ее в плоскость, получим картографическую сеть в ко­нической проекции. Конические проекции сфероида широко при­меняются в различных областях практической деятельности, но в судовождении они распространения не нашли.

Частными случаями конических проекций являются азиму­тальные и цилиндрические проекции.

Азимутальными называют проекции, у которых парал­лели нормальной сетки — концентрические окружности, а мери­дианы — радиально расходящиеся из центра этих окружностей прямые линии, пересекающиеся под углами, равными разностям долгот. Можно сказать, что это частный случай конической про­екции при а=1. Происходит вырождение конуса, на поверхность которого проецируется плоскость.

Перспективными (рис. 4.15) называются азимутальные про­екции, которые получаются путем проецирования точек поверх­ности шара на картинную плоскость К лучами, исходящими из

ческой проекции

чсских проекций

б = а А,,

75

т	А
(
	ог
	'о,

Рис. 4.15. Перспективные проекции

70¹

60

30 О

>Х

О 30 60 90 720 750°

Рис. 4.16. Нормальная сетка цилинд­рической равноугольной проекции

постоянной точки зрения О. Картинная плоскость может касать­ся поверхности условного проецируемого глобуса, построенного в главном масштабе карты, находиться на некотором расстоя­нии от этой поверхности или пересекать ее. Точка зрения берет­ся на перпендикуляре к картинной плоскости, проходящем через центр шара радиусом R. В зависимости от положения точки зре­ния и ее расстояния D до картинной плоскости перспективные проекции делятся на четыре вида {см. рис. 4.15): центральные, или гномоническне (точка Оi, D — R), стереографические (точка 0>, D = 2R)_y внешние (точка 0_3f 2R <С D <С °о) и ортографичс- ские (точка D = оо). Первые два вида применяются в мор­ской навигации. Внешние проекции практически не применяют­ся, ортографические применяются при картографировании по­верхности Луны и Солнца, а также поверхности Земли (часто для декоративных целей).

Цилиндрические поверхности (рис. 4.16) — это проек­ции, на которых параллели нормальной сстки представляют со­бой прямые, параллельные экватору, а меридианы — прямые, перпендикулярные параллелям и удаленные от изображения на­чального меридиана на расстоянии у, пропорциональные- долго­там. Большинство цилиндрических проекций получается не пря­мым перспективным проецированием условного глобуса на по­верхность цилиндра, а в результате расчета величин х и у по уравнениям проекций. Цилиндрические проекции различаются между собой характером функции x = f(cр), определяющей рас­стояние х параллелей ф от экватора. Это уравнение и уравнение у = сХ (где с — коэффициент пропорциональности, а К — долго­та) представляют собой общие уравнения цилиндрических про­екций.

76

Цилиндрические проекции можно рассматривать как частный случай конических проекций, у которых вершина конуса отнесе­на в бесконечность (а — 0).

Произвольные проекции включают в себя проекции, не вошедшие ни в один из перечисленных классов. Часто их отно­сят к разным классам: круговые, псевдоконические, псевдоци­линдрические, поликонические и др.

Конические, азимутальные и цилиндрические проекции по ха­рактеру искажений могут быть равноугольными, равновеликими и равнопромежуточными.

Морские навигационные карты должны удовлетворять двум основным требованиям:

углы, пеленги, курсы, азимуты не должны на них искажать­ся, т. е, карта должна быть равноугольной;

линия пути судна должна изображаться прямой, пересекаю­щей меридианы под постоянным углом.

Этим требованиям отвечает равноугольная цилиндрическая проекция, носящая название проекции Меркатора в честь круп­ного нидерландского математика и картографа Герарда Креме- ра (1512—1594 гг.), носившего латинизированную фамилию Меркатор. В судовождении при плавании в приполярных рай­онах, кроме карт в равноугольной цилиндрической проекции, применяются карты в равноугольной поперечной цилиндричес­кой и стереографической проекциях, а для решения многих за­дач используются также карты в гиомонической проекции.