Глава 7

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ НАВИГАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ

7.1. Основные сведения о методе наименьших квадратов

Число навигационных измерений, используемых для опреде­ления места судна, очень существенно. Если измеряются два навигационных параметра и решается задача определения Дер и ДЯ, то говорят, что в задаче отсутствует избыточность, т. е. система линейных уравнений линий положения совместна и практически всегда имеет решение. Исключение составляют па­раллельные линии положения.

С математической точки зрения гарантия решения системы уравнений, несомненно, является положительным качеством, но хорошо ли это с позиций навигации? Конечно, нет. Отсутствие избыточности измерений приводит к неконтролируемости влия­ния различных видов погрешностей на результат, и особенно опасны грубые промахи и систематические погрешности. По­этому в этих целях, а также для повышения точности обсерва­ции используют избыточное число измерений. Так, в случае оценки приращений координат Аф и ЛЯ, на плоскости минималь­но могут быть измерены три навигационных параметра, т. е. п — 3. В этой ситуации избыточность равна единице. Система уравнений линий положения будет иметь вид:

Возможно ли традиционное решение такой системы? Из-за наличия погрешностей измерений линии положения образуют фигуру погрешностей — треугольник (рис. 7.1), поэтому реше­ние любых двух уравнений из трех даст нам положение вер­шин этого треугольника погрешностей относительно начала ко­ординат. Это означает, что решение любой пары уравнений не обращает в тождество оставшееся уравнение. Такая система несовместна, т. е. решение любой пары несовместно с третьим уравнением. Какова же польза от такой избыточности, если уже на начальном этапе возникают трудности в поиске решения? Анализ размеров фигуры погрешностей и ее поведение в после-

i GO

(7.1)

довательности измерений дают полезные сведения о качестве измерительной на­вигационной информации. Для того чтобы все же по­лучить согласованное реше­ние, необходимо ввести до­полнительные условия, ко­торые можно получить, если более детально представить систему (7.1). Другими сло­вами, в окрестности фигуры погрешностей необходимо выбрать точку (предпола­гаемое решение), относительно которой и можно было бы сфор­мулировать дополнительное условие.

Рис. 7.1 дает представление о фигуре погрешностей при п — 3. Здесь отрезки v\, v'₂, называются невязками. В спе­циальной литературе также встречается термин поправка или ошибка линии положения в зависимости от знака. Собственно в такой ситуации именно невязки и определяют решение отно­сительно фигуры погрешностей. Множество возможных сочета­ний невязок определяет множество решений, и задача заклю­чается в подборе наиболее простого и физически интерпрети­руемого условия. Если обозначить ДUi—Uq — Uc=—U> то с учетом невязок систему (7.1) можно записать так: «I cosT]Aq: + £] sin T|Aa>-Wi = i'bi

£2COST₂A<p-}-g₂ sin т₂Дw+h = v₂-, 1 (7.2)

g₃ cos т^Дф-ь^з sin f зДиу + = j

Здесь величины v_u v₂, v₃ — невязки, выраженные в единицах измерений, что более удобно для дальнейших выкладок. Для согласования системы (7.2) с рис. 7.1 необходимо выразить не­вязки V] в линейных единицах, т. е. разделить все члены на мо­дули соответствующих градиентов:

cos x^) + sin i_lS'ii>-\-An_] = v^,_l; l

cos тгАф + sin т_гЛ12+Ай₂ = t''₂; \ (7.2a)

cos ТзАф + sin т₃Дш + Ди₃= у'з. j

Теперь становится очевидным, что избыточная система (7.1) превратилась в системы (7.2) — (7.2а) с недостаточным числом уравнений, так как невязки также неизвестны. Формально наи­более простое решение такой системы можно получить, если принять следующее условие:

S = [с²] = г*, + l-²₂ + v²₃ = min, (7.3)

где [и²] — обозначение суммы по Гауссу.

161

Ду>

^С(?Л)

&W

Рис. 7.1. Треугольник погрешностей навигационных измерений

Если невязки выражены в линейных единицах, то условие (7.3) запишется таким образом:

г)²⁺ (1г)⁺ Ш = <«■>

При увеличении числа измерений (м>3) возникает более сложная фигура погрешностей с числом вершин С²_п = п(п—1)/2, но условие (7.3) дает однозначное решение системы уравнений линий положения при любом значении п. Его суть сводится к поиску «центра тяжести» фигуры погрешностей измерений, т. е. к определению некоторого среднего значения координат из мно­жества координат вершин фигуры.

Для того чтобы почувствовать это среднее, сконструируем из трех линий положения следующую фигуру погрешностей. Пусть две линии положения из трех параллельны (рис. 7.2). Эта конфигурация противоречит хорошей морской практике, но зато удобна для анализа. В такой ситуации естественно счи­тать, что место судна находится где-то на третьей линии поло­жения. Воспользуемся критерием, рассчитанным по формуле (7.3а). В результате получим, что минимуму критерия S соот­ветствует середина отрезка линии положения III, заключенно­го между прямыми / и II. Решение системы уравнений называ­ется оптимальным в смысле выполнения условия 5 = min, т. е. при выполнении критерия минимума суммы квадратов невязок. Избыточность позволяет нам получить информацию о некото­рых средних значениях координат, а поэтому важным является утверждение, что оптимальная точка будет всегда находиться внутри фигуры погрешностей, если систематические погрешнос­ти 6_> = 0. Метод наименьших квадратов является наиболее уни­версальным средством обработки избыточной навигационной инфор­мации. Его основы бы­ли разработаны Ле- жандром и Гауссом в период с 1795 по 1805 г.

Различные модифи­кации метода исполь­зуются в настоящее

Рис. 7.2. Графическое изо­бражение прокладки трех ЛП и график минимума суммы квадратов невязок

1 Л

162

время для решения многих навигационных задач: комплексиро- вание навигационной информации, вычисление коэффициентов девиации и радиодевиации, определение коэффициентов дрейфа, точности счисления и т. п.

Для более удобного изложения дальнейшего материала вос­пользуемся методами линейной алгебры, что позволит сокра­тить и унифицировать записи. Обозначим матрицей А таблицу коэффициентов при неизвестных в системе (7.2), не ограничи­ваясь размерностью п.

gtCOSI, giStllTi &2COST2 g2 sin \2

giCOSTj gi sin т,-

gn COS Tn gn sin Тя

Введем следующие матрицы:

«11	«12 \		/ах	h
«21	«22 1		Г а2	ь2
Oil		=	а<
ап1	am)		\йп	'Ьт

(7.4)

-Г" ) \ № }

ДХ= -—матрица (вектор) неизвестных;

k

L— I 1—матрица (вектор) измерений;

In

01

v₂

V= | ' у " | —матрица (вектор) невязок.

Теперь система (7.2) запишется более компактно:

MX + L = V. (7.5)

Запишем в развернутой форме формулу (7.5), выполнив ум­ножение А на ДХ, и получим знакомую систему (7.2). Размер­ности векторов ДХ и L, т. е. величины k и п, формально не име­ют значения, и совершенно аналогичная по своей структуре ли­нейная система может быть составлена, если в вектор ДХ, на­пример, включить систематическую погрешность измерения на­вигационного параметра:

о гАф-+■&зА и-» -j- 6+1₂ = I

Здесь предполагается, что систематическая погрешность оди­накова для всех я измерений.

163

Для системы (7.6) матрицы А и АХ из системы (7.5) запи­шем так:

'о, ft, +i \

^+! 1 /Д_Ф \

А=| ₊₁ ; ДХ = ^ J. (7.7)

' Ьп ' + i /

Для удобства записи в плоской задаче примем следующие обозначения: х — и y = Aw.

7.2. Составление и решение нормальных уравнений

Для решения системы уравнений (7.2) воспользуемся кри­терием S = min и запишем его выражение через левые части уравнений:

И=1'²₁ + ... + к²п=(а₁АчМ + M²-b--K«n*-i-67_iy+ Ц². (7.8)

Далее определим координаты х и у, соответствующие мини­муму критерия S, для чего используем традиционный метод по­иска экстремальных значений функции, взяв частные производ­ные от 5 по х и у:

dS/dx=0; dS/dy=0. (7.9)

Тогда

<?S/d* = 2a_t (aix + %-Н,)+... +2а * М + М = 0; ]

t)S/dy = 2b_l(a_lx+b_iy + l_l)-\-... + 2bn{a„x + b_ny + L)=0.)

Выполнив сложение, получаем систему двух нормальных уравнений в обозначениях Гаусса:

[сш]х-|- {ab)y V [о/] =0;

(7.11)

[ab)x+[bb]y+[bt]=Q. ¹ Так как Vi = aiX + biy + U_t то

(7.12)

[bv]=Q. j

Для трех неизвестных х, у, z получим аналогичную по струк­туре систему нормальных уравнений:

[aa].v+ [ah]y+ [ac\z + [о/) — 0; \

[ab]х-г\ЬЬ]у+\Ьс]г+[Ы\=0- (7.13) [ac\x->r [bc]y [cc}z + [с/] =0, j

ИЛИ

[bv] =0; (7.14)

[cv] =0.

164

Обратим внимание на характерные свойства этой системы уравнений: система совместна, коэффициенты на главной диа­гонали положительны, коэффициенты, расположенные симмет­рично относительно главной диагонали, равны. Это симметрич­ная система.

Универсальная запись нормальных уравнений в матричном виде выглядит следующим образом:

(А^ТА) дх —AL. (7.15)

Здесь А⁷"— это транспонированная матрица А, т. е. если 'а, bi \

то А^г— ( "'^а" ).

.... Г v ь_хь₂„.Ьп }

bn /

А=

Формальная запись решения системы (7.15) при обращае­мой матрице (А^ГА) такова:

Х^А^А^А⁷!,. (7.16)

Расшифровка записи (7.16) приводит к формулам Крамера для решения системы. Пусть для определения места использу­ются три линии положения, тогда

0 =

сь о

а\ а₂ а₃ b 1 b₂ b_A

-1

b,b₂b₃

(7.17)

/ * \ _ /М i«b]\-4[al] \

I у I \И>] [ЬЬ]} \[«1 )' (

[ЬЬ 1 [ab]

[аа] [bb] — [ab]²

[bb] [al] — [ab] [Ы] [aa] [bb\ — [ab]'²

[go] [6/] - [ab] ]al\ [шг] [bb] — [ab]'²

[ab]\/[al] [aa] J \ [bl] /D_x D

(7.18)

(7.19)

Таким образом получено известное правило Крамера, где D — главный определитель системы, a D_x н D_y — определители для х и у соответственно.

Контроль правильности решения получим обратной подста­новкой найденных неизвестных в так называемое суммарное уравнение, полученное суммированием нормальных уравнений:

([aa] + [ab])x+([ab] + \ЬЬ])у+ [al] + [bl] — О,

(7.20)

либо прямой подстановкой в систему нормальных уравнений.

165

Способ решения нормальных уравнений по правилу Крамера при k>2 становится трудоемким и не всегда устойчивым при малых значениях D.

Рассмотрим другой способ решения системы нормальных уравнений, называемый методом последовательных приближе­ний (итераций). Покаж-ем его на примере системы (7.13). Выра­зим неизвестные х, у, z соответственно из первого, второго и тре­тьего уравнений:

[ab]y+ \ac\z+[al] \

i/= —

М

[ab]x+ [bc}z + [bl] ^

[bb] ^; /

[ac]*+[frc]j/+[d] j

[сс] /

Первое приближение. Пусть # = 0; 2=0, тогда

\al)

(7.21)

[аа]

(7.22)

Теперь определим оставшиеся неизвестные:

_z(')=_ - Второе приближение.

*<2>= — -

[ab]xV4 \Ы] [bb] ^:

[ac)jt<'>+ [bc]y^ + \cl\ [cc\

(7.23)

[ab]y^>+ \ac)z^+\al] \ [aa]

_m [ab}xW+[bc]zO)+[bl]

У

г<*>= —

[bb\

[ac]xW+[bc]yi²>+[cl\ [cc]

(7.24)

Если разность между двумя последовательными приближе­ниями достигает пределов заданной точности, то вычисления прекращаются.

Метод итераций более прост по сравнению с методом Кра­мера, легко реализуется на ЭВМ, к недостатку следует отнести итерационную процедуру, которая не дает конечного решения, но быстродействие современных ЭВМ снимает этот вопрос.

Скорость сходимости итерационного процесса зависит от относительного преобладания квадратичных коэффициентов над остальными — чем больше это преобладание, тем быстрее схо­дится процесс. Важным преимуществом является и то, что вьь J 66

числительные сбои могут быть исправлены автоматически в процедуре счета.

Чаще всего для решения систем линейных уравнений приме­няется способ исключения Гаусса, который в отличие от метода итераций дает конечное решение и его точность определяется лишь ошибками округления. Запишем еще раз исходную систе­му трех нормальных уравнений:

[аа]х+ [аЬ]у+[ас]г + [аЦ=0; \ab\x + [bb]y + [bc]z + [W]=0; [ас]х+ [bc]y+[cc]z + [с/]=0.

Метод начинается с исключения неизвестного х. Умножим

первое уравнение на ^ и вычтем результат из второго. Затем

[ас]

умножим первое уравнение на ^ и вычтем результат из тре-

И]

тьего уравнения. Получим эквивалентную систему [aa]x+[ab]y-\-[ac]z + [al]=0;

(7.25)

U-n

[aa]

После введения соответствующих обозначений: [аа]х+ [ab]y+[ac]z + [al] =

d_xy+e_yz+U = 0; j (7.26)

d₂y+e₂z+f₂=0. J

Далее применим способ исключения ко второму и третьему уравнению системы. Используя аналогичный прием, получим упрощенную систему уравнений:

[aa]x+[ab]y+[ac]z + [at]= 0; diy+eiz + /)=0;

(7.27)

Процесс исключения завершен. Получена упрощенная экви­валентная система уравнений. Порядок ее решения очевиден и называется обратной подстановкой.

Пример 7.1. В точке с координатами <р=50°20' N, Х=1°00' W проведем измерения по гипотетической РНС. (Гипотетическая, т. е. несуществующая, радионавигационная система взята потому, что для исследования МНК мож­но задаваться целочисленными коэффициентами линий положения, что не

167

требует применения вычислительной техники для решения примеров.) Полу­чим следующие уравнения линий положения:

Пусть правые части уравнений линий положения выражены в морских милях. Необходимо определить обсервованные координаты при предположе­нии, что измерения равноточны.

Решение. Так как система уравнений имеет малую размерность, то вы­числения проведем по формуле (7.17):

Обсервованные координаты после округления: фо = фс+Аф=58^о20,6^/АГ; Х₀ = А,_С+Д» sec фт= Г00,3'

7.3. Метод наименьших квадратов при неравноточных измерениях

При рассмотрении МНК не предполагалось наличие какой- либо априорной информации о погрешностях измерений, т. е. в процедуре вычислений не было статистических характеристик погрешностей, потому что измерения предполагались равноточ­ными, т. е. с равными СКП.

Допустим, что мы располагаем информацией о точности из­мерений по каждому параметру и измерения, проводимые нами для определения места судна, неравноточны, так как имеют различные СКП. Различные СКП будут иметь и соответствую­щие линии положения. В этом случае с вероятностно-статисти­ческой точки зрения есть основания больше доверять тому из­мерению, которое имеет наименьшие погрешности. Поэтому вполне естественно считать, что поправки, применяемые для формирования критерия 5, должны быть обратно пропорцио­нальны соответствующим СКП измерений, т. е. величинам т,, и критерий МНК будет рассчитан так:

Величина р,~1/т²г называется весом измерения и характе­ризует относительную точность измерений, входящих в группу. Таким образом, критерий 5 в соответствии с (7.28)

5Дф+6Ди.' = 2; 2Д<р + Лю=1; Аф + Дй' = 1.

(

₊ г-у.

V т, ) \ т₂ / \ т_{ } \ т_п }

(7.28)

S= [pv²] = \pvv] =Pii>³i-!-p₂t>²2 + ... p_tv²i ...

168

(7.29)

Исходя из формулы (7.29) система (7.2) без ограничения на число измерений может быть 'переписана следующим образом:

(7.30)

)рпйпХп

После приведения системы (7.30) к нормальным уравнени­ям:

для двух неизвестных

[paa]x+\pab]y+[pal]=0;

17 ЗП

[раЬ\х+[рЬЬ]у+{рЫ]=0. ^f '

для трех неизвестных

\paa\x-\- [pab]y+ [рас] г Л- [pa/J =0; ]

\pab\ х+ \pbb) у + \pbc\z + [рЫ] = 0; 1 (7.32)

[рас] х + \pbc\ у + \рсс\z + [pel] = 0. J

Более компактно:

{pav] = [pbv\= 0; (7.33)

[puMpbv] = [рсо]=0. (7.34)

В матричном виде запись нормальных уравнений следую­щая:

(A^TR-^,A)-¹AX=A^TR-^lL. (7.34а)

Решение нормальных уравнений может быть выполнено опи­санными способами. В матричном виде формулу решения запи­шем в одну строку

ДХ= (A^rR^-1A)^-1A^rR^_1L₍ (7.35)

где R^-1 —весовая матрица, обратная ковариационной матрице погреш­ностей измерений.

Для трех линий положения с независимыми погрешностями навигационных параметров эти матрицы имеют вид:

т\ 0 0 \ / l/m²i 0 0 \

™^г2 о ); R"^l= ( о 1//л²2 О 1. (7.36). От²,/ \ 0 0 1 J

После того как система нормальных уравнений решена, оп­ределим обсервованные координаты, которые рассчитаем так:

Л Л 1

<Ро=фсЧ-Дф;

(7,37)

А Л

Яо = ?._с4-Аю secq)m==Xc+AA,, \ где Д — оптимальность решения по МНК.

169

При необходимости применяется итерационная процедура Ньютона, т. е. в качестве счислимых координат используют

ф⁽¹⁾0, А⁽¹⁾о» и решение повторяется до достижения заданных раз­ностей координат Д<р(|", i-f-1) и Да(*, j+1):

л

Аф{{, i+1) — ф'о — фо^^+|>;

л л

(7.38)

Итерационная процедура Ньютона применяется для умень­шения погрешностей линеаризации изолиний. Определив место, необходимо провести анализ точности решения.

Пример 7.2. Пусть но условиям примера 7.1 проведены измерения, но они не равноточны. Ковариационная матрица погрешностей измерений имеет вид:

/?г²j О /Я»2

О mh

кбт².

Решение. Воспользуемся формулой (7.35) для определения места судна. При равноточных измерениях не было необходимости применять ковариа­ционную матрицу для оценки координат, так как взвешивание происходило чисто геометрически:

_ / +0,62' \ ~ \ -0,26' / ' ф₀ =58° 20,6' N; Х_о = Г00,5^/ Г.

Предположение о неравноточности измерительной информации изменило оценку обсервованной долготы, сдвинув обсервацию ближе к третьей, наи­более точной линии положения.

7.4. Оценка точности определения места судна по методу наименьших квадратов

Общие положения. Метод наименьших квадратов является линейной процедурой обработки навигационной информации. Это говорит о том, что если погрешности измерений каждого навигационного параметра распределены по нормальному зако­ну, то и погрешности оценки тоже имеют нормальное распреде­ление. Таким образом, доверительный интервал оценок коорди­нат па плоскости будет представлен в общем случае эллипсом погрешностей при любом количестве линий положения. Увеличе­ние числа нормальных уравнений, т. е. расширение вектора оце­нок, ведет к увеличению размерности доверительного интерва­ла. Так, если включить в вектор оценок систематическую по­

170

грешность 6, то доверительный интервал будет представлен эл­липсоидом погрешностей в трехмерном пространстве оценок х, У, б.

Задача заключается в том, чтобы научиться оценивать точ­ность определения места судна, т. е. уметь прогнозировать точность расчета координат, используя измерения и априорную информацию о погрешностях измерений.

Проведем аналогию между двумя линиями положения и дву­мя нормальными уравнениями. Выпишем еще раз систему двух нормальных уравнений:

[aa]x+[ab]y + [а/] =0; \аЬ]х+[ЬЬ)у+[Ы)

Уравнения системы представляют собой общие уравнения некоторых несуществующих прямых линий. Эти эквивалентные системе (7.2) линии положения при пересечении дают точку, которую в навигации и принимают за обсервацию, т. е. за центр эллипса погрешностей оценки координат и соответственно за место судна по данным измерениям. Для того чтобы использо­вать в расчете параметров эллипса полученные формулы, приве­дем нормальные уравнения к каноническому виду, проведя нор­мирование умножением на соответствующие множители:

ц_]=]/У1 аа]*+[аЬ)*; (7.39)

te=W[ab]*+[bb]*-_t (7.40)

cost_h -tf+sinTi, у—т_н . j

^{1 1 1} ' (7.41) cosx„ л'Н-sin т _н у=т „ .

2 2 1 !

Нормирующие множители Ц] и ji₂ являются формально ни­чем иным, как модулями градиентов некоторых обобщенных навигационных параметров, а средние квадратические смещения и /я,получаются путем замены соответствующих значе­ний U в нормальных уравнениях на средние квадратические смещения, т. е.

_m [М 1^ат1

т_н ~ = > (7.42)

У[са]2₊[а&]2 Hi

_m _ (М ₌ СМ „

«и = ■ (7.43)

У И] ²+ [ьь\² hj

1

2

Одна из возможностей определения направления обобщен­ных градиентов такова:

(\аа\ \

т„ =arccos | -— I . (7.44)

1

V

(\аЪ) \

т_н — arccos . (7.45)

² V Й2 /

171

Теперь имеется возможность определить угол 6_Н между ними:

6н~Тц — т„ , (7.46)

2 1

а затем получить знакомые формулы расчета элементов эллип­са погрешностей координат относительно эквивалентных линий положения:

Л±В=~--у(т_я )²+(m„ )²±2т_н т_н sin 0_Н . (7.47) Sin бы 1 2 12

Угол ф между второй эквивалентной линией положения и полуосью А

18 2ф = 5т26н j +cos20_Bj. (7.48)

Используя полученную аналогию, для расчетов можно при­менить таблицу «Параметры эллипса ошибок для двух линий положения», помещенную в Мореходных таблицах, если в ка­честве входных данных использованы величины ш„, и т„_а.

Зная параметры эллипса, имеем возможность вычислить

СКП места судна

M = iA²+B't. (7.49)

Ковариационная матрица погрешностей. Рассмотрим алгеб­раический аналог доверительного интервала, характеризующего точность измерений и оценки.

Пусть проводится серия k измерений по п линиям положе­ния, тогда имеем некоторую последовательность векторов не­вязок:

•-GI

Вследствие действия случайных погрешностей измерений, компоненты векторов V/ являются случайными величинами, и векторы V; называются случайными. Если для исследования точности навигационной системы все измерения проводятся в одной точке, т. е. на стоянке судна, то нет проблем в опреде­лении среднего вектора невязок V, который при неограничен­ном числе измерений можно трактовать как математическое

172

ожидание последовательности случайных векторов. Этот вектор обозначим так:

(7.51)

Vi

где Л1 — символ операции математического ожидания.

Пусть D(Vi)—дисперсия i-й компоненты вектора погреш­ностей измерений, тогда D(Vi) =m²i и вектор D(V) есть вектор дисперсий погрешностей измерений:

(7.52)

В дальнейшем изложении материала не будем различать дисперсии с их оценками по конкретной, достаточно представи­тельной совокупности измерений, т, е. с понятием среднего зна­чения и значения т². В изложении материала сохраним тради­ционные морские обозначения.

Погрешности измерений могут быть статистически зависи­мы. Эта статистическая зависимость определяется коэффици­ентом корреляции, а общее описание такой зависимости даст ковариационная матрица погрешностей измерений, которая рассчитывается по следующей формуле:

= V)^r]=M

Vi

f₂

( l\V₂...Vi ... Vn)

/m\ &,₂m_tm₂ ■ • • k_um_xmi . . . /гщпг^тп

' • • ■ k_2im₂mi . . . к_2пт₂'п_п

kumim^ m²i k_intnimn

m²n /

/гцг ₁₂ ... г]{ ... r]n

г2\t₂2 ... г... r₂n

(7.53)

ГцГц ... Гц .,. Tin \ГщГ п2 — fni ... Г nil

Матрица R квадратная, симметричная относительно главной диагонали, на которой расположены дисперсии погрешностей

173

измерений. Все другие ее члены называются ковариациями. Дисперсии также являются ковариациями с единичными ко­эффициентами корреляции ka.

В большинстве случаев допускается, что погрешности изме­рений независимы, и все недиагональные элементы ковариа­ционной матрицы равны 0. В этом случае матрица имеет диа­гональный вид:

R =

Гп	0 .	.. 0 .	.. 0 \
0	Г 22	. . 0	.. 0 \
0 '	о' .	. • ГЦ .	..'о *
.0 '	о' .	о !	• • Гли /

(7.54)

Структура ковариационной матрицы погрешностей изме­рений определяет название МНК: если R диагональна и все ее компоненты равны, то алгоритм носит название МНК; если ком­поненты не равны, то это метод взвешенных наименьших квад­ратов; если R недиагональна, то это обобщенный МНК-

Погрешности измерений в процедуре расчета трансформи­руются в погрешности координат. В качестве такого преобра­зователя погрешностей используется матрица коэффициента А. Ковариационная матрица погрешностей географических коор­динат

\k_2im<t m_wm²_w } \р₂\ Рп 1

где m²<t., т²и, — дисперсии погрешностей определения широты и отше- ствия.

Средняя квадратическая погрешность места судна

M=ypn+p22=i*n²f +т²и. (7.56)

В гауссовских обозначениях матрица Р запишется следую­щим образом:

Р- 1 ( (7,57)

М1Й&] - [ab]* \~{раЬ] [раа]}

Теперь перейдем к расчету полуосей эллипса погрешностей обсервации. Существует аналитическая связь между полуосями эллипса погрешностей и характеристическим уравнением кова­риационной матрицы погрешностей координат.

Запишем характеристическое уравнение

\ Р%\ Р22 А /

где Det — определитель матрицы.

174

Раскрывая определитель, получим

(Ри - Я) (р„ -1) - о, (7.59)

где % — так называемое собственное число матрицы Р.

Решаем формулу (7.59) относительно л:

h,2= {р_и + Ргч) /2±|' (р, 1 -ргг) 74 + р²₍₂. (7.60)

Собственные числа обладают экстремальными свойствами. Их связь с полуосями эллипса такова:

6=ух7 (7.61)

т. е. квадраты полуосей эллипса являются собственными числа­ми матрицы Р.

Теперь для определения угла ориентации большой полуоси а относительно меридиана воспользуемся алгебраическими вы­числениями и следующими соображениями.

1. а² = Я 1 = ?члах представима в виде некоторого вектора Z, имеющего в качестве своих компонент проекции м на коорди­натные оси:

/собчм /x, cosy* \

= ■ ш } ⁼ (J ■ w ' <⁷⁶²)

\sin / sm ч'лг /

где Z — единичный вектор.

2. Существуют углы Ч^ , т. е. векторы Z, при умножении на которые матрица Р дает выражение (7.62):

PZ = X_tZ; (7.63)

(р11 piz\/cos4^rv \ , /cos4V\

РИ cos 4^fv + p_a sin cos 4V (7.65)

Ргх cos Tv + Pb Sin W.v=Я, sin HV (7.66)

Эти векторы Z называются собственными векторами кова­риационной матрицы Р и определяют направление полуосей эллипса погрешностей.

Решая формулу (7.65) или (7.66) для получим ориента­цию полуоси а относительно меридиана:

4*V = arctg ~ ; (7.67)

Я'2

^A^arccig— • (7.68)

Р21

Формулы (7.63) — (7.68) иллюстрируют общий подход к на­хождению параметров доверительного интервала и применимы для любого числа неизвестных, т. е. для расчета параметров трехмерного эллипсоида погрешностей или гиперэллипсоида.

175

Пользуясь понятием ковариационной матрицы, запишем вы­ражение для нормальной плотности оценки

₁ — —- (АХ — ЛХ)^ТР~' (4Х — л?Г)

f(AX) = — е , (7.69)

(2я)*/»У]Р|

где |Р[—определитель матрицы Р.

Из формулы (7.69), как частный случай, получим одно- и двухмерные нормальные плотности.

Пример 7.3. Оценим точность обсерваций, полученных в примерах 7.1 и 7.2.

Решение. Пусть в примере 7.1 измерения имеют СКП т=2 кбт, тогда формула (7.55) для расчета ковариационной матрицы погрешностей коорди­нат запишется так:

Р=1

( 5 2 1 \ I % М ] { 2,96 -2,60 \ U 1 1 / \ ] J ) ~~ \ -2,60 2,36 J •

Таким образом, получим ковариационную матрицу погрешностей коор­динат в единицах «кбт²». Соответствие ее элементов видно из следующей записи:

'PU Р12

(trfitр ktfftlf tftw \ ( 2,96 —2,60 \ k_2} m_f m_wm²w / ~~ 2,60 2,36 / ~

Р21 Pit

СКП координат места судна определится в соответствии с формулой

(7.56) так:

М = >2,96+ 2,36= 2,30 кбт.

Теперь рассмотрим неравноточные измерения примера 7.2. Рассчитаем ко­вариационную матрицу погрешностей координат Р и величину М, зная кова­риационную матрицу погрешностей измерений R (кбт²):

1 0 0

0 1 о

0 0 0,5

Ч(П1)(;;:уШ)Г=и

,73 -0,64 ,64 0,58

Af=>'0,73 + 0,58 =1,14 кбт.

Определим элементы эллипса погрешностей обсервации для неравноточних измерений, пользуясь формулами (7.60), (7.61) и (7.67):

(0,73 + 0,58)/2±У (0,73 -0,58)²/4- 0,64²;

а=1,14 кбт; Ь=0,1 кбт.

Определим угол ориентации большой полуоси эллипса относительно истин­ного меридиана:

1.30 — 0,73

4^ = arctg — ^: = —41,7 .

—0,64

Так как знак тангенса отрицательный, следовательно, большая полуось эллипса ориентирована в норд-вестовой и зюйд-остовой четвертях:

Ч'_к = 360° - 41,7°=3 I 8,3°.

176

7.5. Апостериорная оценка точности вычисления координат методом наименьших квадратов

Получив координаты методом наименьших квадратов, необ­ходимо для анализа измерительной информации рассчитать не­вязки. Это делается достаточно просто путем подстановки най­денных значений координат в систему исходных уравнений линий положения.

Удобно для анализа использовать матричные формулы, по­могающие в компактной форме показать некоторые свойства МНК. Напишем уравнение избыточной системы линий положе­ния в виде

AAX=L.

Общее решение по МНК: ДХ= ^,A)^¹A^rR~^lL.

Подставим решение в исходную систему и получим выра­жение для оптимального вектора

L^AAJU^A^R-'AJ-'ArR-'L. (7.70)

Обозначим K = A(A^rR-¹A)-¹A^rR~¹. Это так называемая мат­рица подгонки. Теперь

L=KL; (7.71)

V = L-L=KL-L=(K— E)L. (772)

Здесь Е — единичная матрица вида

о о ...о О 1 о ...о

Е- | О О I ...0 | - (7.73)

,0 0 0 1

Выражение (7.72) дает возможность вычисления вектора V, т. с. вссх невязок, которые в дальнейшем можно использо­вать для расчета апостериорной точности измерений.

Следует обратить внимание на матрицу К. Ее нетрудно по­лучить перемножением матриц для двух нормальных уравне­ний. Это квадратная симметричная относительно главной диа­гонали матрица, имеющая размерность числа линий положения. Например, для трех линий положения

/k._A k_l2 \ К U₂₁ k₂, k._2i . (7.74)

\6₃₍ k'_J2 k_ri J

Важное значение имеют диагональные элементы К, если об­ратить внимание на формулу (7.72), а именно при диагональ­ных элементах К, близких единице погрешности, 1\ не чувстви-

177

тельны к соответствующему измерению ^ в векторе L, т. е. зна­чение невязки не всегда может служить признаком точности измерений.

После определения места судна по избыточным измерениям, т. е. после решения системы нормальных уравнений, возникает проблема апостериорной оценки точности по текущим измере­ниям, т. е. переходим к задаче оценки СКП одного измерения. Понимая, что СКП одного измерения существует только в со­вокупности измерений, снова возвращаемся к формуле Бесселя, которую предстоит обобщить.

Формула Бссселя осуществляет связь между оценкой СКП одного измерения т, ее приближением, полученным по откло­нениям от оптимального (МНК) результата, и собственно по­грешностью МНК — оценки М. Для того чтобы получить фор­мулу, пригодную для анализа разнородных измерений, необхо­димо рассматривать задачу по системе (7.2а), когда невязки выражены в линейных единицах. Для перехода от погрешнос­тей линий положения к погрешностям измерений следует вос­пользоваться модулями градиентов измеренных параметров.

Выведем обобщенную формулу Бесселя для СКП одной ли­нии положения. Предполагая, что погрешности МНК —оценки, полученные во многих сериях измерений, не зависят от погреш­ностей линий положения, т. е., сознательно прибегая к высоко­му уровню обобщения измерительного материала, можем за­писать

т² лп⁼ \v^f2]/n + M²₀, (7.75)

где Мо — радиальная оценка точности места по МНК, т. е. М²₀ — диспер­сия погрешностей МНК-координат, если считать, что

Расшифруем формулу (7,75) следующим образом: диспер­сия некоторой средней линии положения складывается из дис­персии, рассчитанной по линейным невязкам относительно МНК-точки, и дисперсии самой МНК-точки как некоторого среднего значения координат.

В свою очередь,

М*о = гп*_х + т*_у. (7.76)

Принимая во внимание, что геометрические характеристики

линий положения могут быть какими угодно, в среднем полу­чим

= т\ (7.77)

И

rrPx = т~у ~ т²_{л п} !п, (7.78)

где mj_jn—СКП линии положения.

Величина т^?_лп/п отражает тот факт, что при увеличении п СКП оценки уменьшается в ~]/п раз.

178

Таким образом, подставляя формулы (7.76) и (7.78) в фор­мулу (7.75), получим

= [у'²1/« + 2т2_лп./я, (7.79)

откуда

™лп=У1^и,2]/(л-2). (7.80)

При k оцениваемых координатах

^тлп ⁼ У[у'²1/("-^). (7.8!)

Анализируя две последние формулы, необходимо иметь в виду следующие моменты.

1. Апостериорная информация [v'²] фигурирует в формулах, полученных на достаточно общих предположениях, т. с. неза­висимо от явно входящей информации [v'²]. Формулы отражают среднюю точку зрения — так будет в среднем при большом чис­ле измерений.

2. При n~^$>k СКП математического ожидания оценки Л1₀ не вносит существенного изменения в оценку

3. Увеличение числа оцениваемых неизвестных приводит к уменьшению точности т _лп.

Неравноточные измерения приводят к следующей формуле:

mjm^lWv'yin-k), (7.82)

а матричный аналог таков:

т_лп = у V^/rRV7(ft —(7.83)

Для использования величины т _пп в оценке точности места судна необходим достаточный статистический материал, накоп­ленный в течение длительного периода плавания.

7.6. Свойства метода наименьших квадратов

Изучив основные технические приемы использования МНК в обработке навигационных измерений, полезно сделать анализ основных свойств метода.

Во-первых, необходимо различать статистические и нестатис- тическис свойства. Ясно, что в какой-то эпизодической обсерва­ции по избыточному числу линий положения МНК выступает, как формальный и наиболее простой математический аппарат, используя который можно однозначно фиксировать точку отно­сительно фигуры погрешностей при условии, что систематичес­ких погрешностей в измерениях нет или они включены в опре­деляемые переменные, т. е. в вектор АХ. В этом случае фигура погрешностей с точностью до случайных погрешностей измеряе­мых параметров находится в окрестности истинной точки. По-

179

этому разовая обсервация, привязанная к фигуре по­грешностей, с точностью до случайных погрешностей из­меряемых навигационных параметров будет находить­ся в окрестности истинной точки (рис. 7.3).

В пределах доверитель­ного интервала, являющего­ся суммой доверительных интервалов вершин много­угольника погрешностей, размеры фигуры погрешнос­тей определяются случайны­ми погрешностями измере­ний, а поэтому ее размеры не могут служить характе­ристикой точности измере­ний. В этой области малая фигура не обязательно дол­жна быть ближе к истинной точке. Систематические же погреш­ности измерений приводят к четкой аналитической зависимости размеров фигуры и расстояния до истинной точки.

Теперь есть смысл говорить о вероятностно-статистических характеристиках МНК, если результаты измерений удовлетво­ряют следующим условиям:

значения коэффициентов линий положения известны точно;

результаты измерений содержат лишь случайные составля­ющие погрешностей;

погрешности измерений имеют нормальный закон распреде­ления.

Свойства МИ К таковы.

1. Несмещенность оценки, т. е. математическое ожидание оценки, равна истинному значению. Это свойство имеет явно асимптотический характер н может наблюдаться в большой со­вокупности измерений.

2. Состоятельность оценки, т. е. оценка при увеличении п стремится к истинному значению параметра по вероятности:

P{jx — Х|>е}^0, е -»-0.

3. Эффективность оценки (оценка называется эффективной, если она в данном классе оценок имеет минимальную диспер­сию).

4. Линейная процедура при нормальном законе распреде­ления погрешностей измерений определяет и нормальность оценки.

180

Рис. 7.3. Возможное расположение треугольника погрешностей измере­ний относительно истинной точки Z:

А| 2,3 — истинные случайные погрешности измерений линий положения

5. При нормальном законе распределения МНК является частным случаем метода максимального правдоподобия.

6. Линейность обработки делает МНК очень чувствитель­ным к наличию промахов, систематических погрешностей изме­рений и к неравноточности навигационных параметров.

Существующие приборы, системы и традиционные методы определения места судна имеют значительные недостатки. Так, например, погрешности определения счислимых координат за­висят от точности работы лага и компаса, от гидрометеороло­гических условий плавания, погрешности определения счислимых координат растут с течением времени. Методы мореходной аст­рономии зависят от погодных условий, имеют ограниченную точность, а также требуют значительного времени для полу­чения обссрвованных координат. Визуальные методы опреде­ления места судна имеют ограниченный район применения, и их использование также зависит от погодных условий. Радио­пеленгование имеет ограниченный район использования и низ­кую точность. Почти все радионавигационные системы имеют ограниченный район использования, а глобальные радионавига­ционные системы имеют и низкую точность. Спутниковые на­вигационные системы на низких орбитах обладают значитель­ной дискретностью определения места. Радиолокационные стан­ции имеют ограниченный район использования и необходимость опознания ориентиров.

Список можно продолжить, но уже совершенно очевидно, что недостатки традиционных методов и средств определения места судна в значительной мере снижают безопасность море­плавания.

7.7. Комплексирование навигационной информации

С появлением на судах навигационных автоматизированных комплексов, созданных на базе ЭВМ, стало возможным при­менять более эффективные методы обработки навигационной информации от различных навигационных приборов. В литера­туре появился термин «комплексная навигация», хотя по сути методы комплексной обработки информации на флоте существу­ют давно.

Это прежде всего обзорно-сравнительные методы навигации, которыми часто пользуется судоводитель при плавании в уз кос­тях. В памяти человека хранятся картины местности с неогра­ниченным числом навигационных ориентиров, вследствие чего навигационно-сравнительныс измерения приобретают большую точность и высокую помехозащищенность.

В древние времена мореплаватели находили верный путь к родным берегам, ориентируясь по светилам, замечая направлс-

181

пие полета птиц, направление ветра и зыби. Вся эта нехитрая информация интуитивно, на основе опыта взвешивалась для выбора наиболее правильного курса судна.

С появлением навигациониых приборов и инструментов ста­ли возникать трудности в объединении информации, так как взамен прямого чувственного восприятия движения судна море­плаватели должны были иметь дело с показателями навигаци­онных приборов. Информация, естественно, стала более точной, но обработать ее интуитивно было уже невозможно. На помощь пришла математика.

Хороший штурман, если имеет возможность, всегда прово­дит несколько измерений различными способами и выбирает вероятнейшее место либо исходя из своего опыта, либо поль­зуясь известными приемами осреднения результатов.

На судах существует практика определения места астроно­мическими способами путем обработки серии точек, полученных разными наблюдателями. Различным точкам в зависимости от опыта наблюдателя приписывается различный вес даже при равных геометрических факторах. Это, собственно, и есть комп­лексная обработка навигационной информации, полученной от различных источников.

Комбинированные способы определения места судна в прин­ципе можно трактовать как комплексные. Совместная обработ­ка счислимых координат с обеервованными — тоже давно извест­ная форма обработки навигационной информации.

Но все же в большинстве случаев в силу своих индивидуаль­ных качеств и при наличии дефицита времени штурман обычно упрощает методику определения места, сознательно занижая точность обсервации и не используя дополнительную, очень по­лезную информацию.

Тенденция использовать один метод, один источник инфор­мации для определения местоположения, в то время как есть несколько, с точки зрения безопасности мореплавания совер­шенно неверна. Здесь налицо явное противоречие между требо­ваниями к точности и возможностями судоводителя как чело­века. На помощь приходит ЭВМ.

Основными причинами, побудившими применять комплекс­ные методы обработки информации, являются:

требование точности определения места (использование нес­кольких независимых источников информации позволяет суще­ственно уменьшить случайные погрешности обсервации);

возможность установить неполадки в работе какой-либо из навигационных систем;

возможность обнаружить и исключить ошибки судоводителя. На мостике транспортного судна в распоряжении судоводи­теля находится большое число приборов, которые могут дать полезную текущую информацию о положении судна и его аек-

] 82

торе скорости. Современные технические средства позволяют проводить сложный статистический анализ погрешностей изме­рений различных навигационных приборов, т. е. уточнять коор­динаты и вектор скорости путем строгой статистической обра­ботки информации.

Те задачи, которые судоводитель решал вручную или по­средством калькулятора, теперь решаются строже, точнее и быстрее с использованием навигационных автоматизированных комплексов (НЛК).

В НЛК комплексная обработка навигационной информации происходит посредством специальных алгоритмов—математи­ческих фильтров, из которых наиболее известен фильтр Калма- на или, в более простой интерпретации, фильтр наименьших квадратов.

7.8. Последовательный метод наименьших квадратов

Наличие избыточных измерений позволяет повысить точность определения места, т. е. уменьшить дисперсию (СКП) коорди­нат. На судне есть автономные средства навигации — это сред­ства для ведения счисления — лаг и компас. Точность судовож­дения несомненно должна быть выше, если использовать сов­местно внешнюю информацию и информацию от средств счис­ления.

Счислимая точка на малых интервалах времени Д/ после обсервации имеет достаточную точность, которую необходимо учитывать. Понятие малого интервала времени здесь важно. Это интервал А/, в течение которого погрешность счисления вырас­тает до значения, сравнимого с погрешностью обсервации.

Алгоритмы, реализующие на ЭВМ такую обработку инфор­мации, строятся но рекуррентному (последовательному) прин­ципу, который удобен для применения компьютера.

Дадим геометрическую иллюстрацию комплексирования раз­нородной измерительной навигационной информации. Для того чтобы построить алгоритм комплексирования, т. е. применить МНК, для этой задачи необходимо знать априорную информа­цию о погрешностях измерений.

На рис. 7.4 дана иллюстрация результатов эксперимента по оценке точности двух навигационных систем при наличии ис­тинной точки Z. Пусть М_с — экспериментальная СКП места судна по счислению через некоторый интервал времени А/ после обсервации а, М₀ — экспериментальная СКП места судна по какому-нибудь способу внешних навигационных измерений (пе­ленгам, дистанциям, радионавигационным системам и т. д.). В нашем примере М₀<М_С, что является наиболее реальным на практике. Такой эксперимент дает возможность накопить апри-

183

Рис. 7.4. Графическое изображение экспериментальной оценки точности определения места судна по двум навигационным системам

Рис. 7.5. Графическое изображение использования априорной информация о точности определения места судна в реальной ситуация

орную информацию о точности различных систем определения мсста.

Полагаем, что синхронные измерения координат (ерг, ta) — счислимая точка С и (фо> ^о) —обсервованная точка О неза­висимы. После обработки каждой пары таких измерений МНК

получим соответствующую точку X — оценку положения истин­ной точки по результатам счисления и внешних измерений, а

д

также СКП оценки М<М₀, М_с> что соответствует свойствам МНК и естественно с точки зрения объема используемой ин­формации.

Необходимо помнить, что на движущемся судне не может быть ситуации, показанной па рис. 7.4, так как в каждый мо­мент времени имеется возможность определять только текущие координаты места судна, которые и принимаются за центры до­верительных интервалов.

На рис. 7.5 показана реальная ситуация текущих измерений. Здесь из областей Mr и Мо выбраны две синхронные точки С и О (они показаны на рис. 7.4 и 7.5), и им присвоены свойства центров распределения). Эти области М_с и Мо, известные по априорной информации из эксперимента, накрывают с опреде­ленной вероятностью истинную точку Z. Экстремальное распо­ложение точек показано на рис. 7.6. Зная невязку между точ­ками и априорно М_с и М₀, найдем весовое среднее, т. е. опти­мальную точку, которая не совпадает с истинной, но при мно­гократных измерениях будет иметь меньший разброс относи­тельно центра, стремящегося к истинному месту судна. Вот та­кая средняя точка зрения реальна в практике определения мсс­та движущегося судна. Таким образом, обрабатывая синхрон- 184

Ay

Экдатор

Рис. 7.6. Экстремальное расположе­ние счкслимой и обсервованной то­чек относительно истинных координат

Рис. 7.7. Графическое изображение исходных данных алгоритма ПМН1\

ную информацию от нескольких разнородных независимых ис­точников, уменьшим дисперсию оценки и величину М_у являю­щуюся радиусом доверительного интервала, накрывающего ис­тинную точку с заданной вероятностью.

Теперь приступим к выводу удобного рекуррентного алго­ритма обработки, который покажем па одномерном примере. Предположим, что истинное место судна находится в точке

2, X/) (рис. 7.7) и в какой-то момент времени получены две независимые координаты ф] п ф₂. Пусть значение ф1 получено средствами счисления, а ф₂— по внешним измерениям. Приме­ним для удобства дальнейшего изложения материала локаль­ную систему координат с началом в истинной точке, в которой используем вместо ф1 и ф2 их приращении относительно коорди­наты истинной точки ф-z, т. е. Aqpi = ЛГь ^а Аф2 = хл.

Таким образом, при отсутствии систематических погрешнос­тей в измерениях широт, Х\ и х-2 являются ничем иным, как ис­тинными случайными погрешностями измерения широты точки Z по двум навигационным системам. Именно эти погрешности и несут всю текущую информацию о точности измерения истин­ной широты точки Z. Иначе говоря, Xi и л"2 — это две независи­мые оценки начала координат Z по широте. Естественно счи­тать, что информация содержится как в первом, так и во вто­ром измерениях, а поэтому необходимо учесть ее наиболее эф­фективно, т. е. использовать принципы МНК.

Следовательно, для оценки величины qz в локальной систе­ме координат, т. е. для оценки положения начала координат, мы собираемся прибегнуть к использованию истинных случайных погрешностей измерений широты. Фактически это Ai и Аз, если использовать традиционные обозначения.

185

Полагая, что Ху и х₂ имеют пока неизвестные СКП ш, и т₂ (или дисперсии m²i и т²₂), построим некоторую среднюю оцен­ку x = f(xu х₂) в следующем виде:

Л

x=x_l+fc(x_i — *,), (7 84)

тде k — весовой коэффициент, который найдем из условия, что дисперсия погрешности этой оценки будет минимальна.

Получим из формулы (7.84) выражение для дисперсии по­грешности т² через дисперсии т²\ и т²_2у а для этого возведем обе части формулы (7.84) в квадрат и применим к ним опера­цию математического ожидания или усреднения в простейшем случае. Для этого необходимо предположить, что х\ и х₂ явля­ются составляющими некоторых больших совокупностей измере­ний, т. е. выражение (7.84) использовалось ранее п раз, т. е. имеется представительная априорная информация.

Итак, после возведения в квадрат

*2 —(I —k)²x*_t+k*x²₂+2( \ —k)kxix₂. (7.85)

Теперь проведем операцию математического ожидания над фор­мулой (7.85):

М(х*) = { I —к)Ш{х*1) +№М{х\)+\2(1 — А)ЛГ(A-jjra). (7.36)

Так как Х\ и х₂ независимые величины, то

М(х₁х₂) =0.

Поэтому формулу (7.86) запишем так:

т*=(1—кут*1+№т*г. (7.87)

Уравнение (7.87) определяет связь между неизвестной дис­персией оценки т² и теперь уже известными дисперсиями по­грешностей измерений т²\ и т²₂.

Найдем k из условия минимума ш² традиционным способом:

d(m*)/dk= — 2(1 — k)m²_l-\-2kmi₂ = 0, (7.88)

откуда

£=my(m²,+m²₂) (7.89)

и оценка д: определится так:

x^xi+imyimti + mwixi — x,); (7.90)

л д

х=Дф. (7.91)

Здесь весовой коэффициент k определяет вес Х\ относитель­но х₂. Получим формулу для оценки шпроты

Ф = _+Х]+[_ту(_т^ + _та₂)] (х₂-_х:); (7.92)

ф —фс+Лф. (7.93)

186

Здесь Xi = cpc — <jpz; л:₂ = фо — Фz\ Лф = &(фо — фс), или в более удобном для дальнейших записей виде:

Л Л

f-i —ф»-1 + Аф1, <-1, (7.94)

что говорит о том, что текущая широта ф,, i_+l получена по из­мерению счислимой широты ф,-! и обсервованной широты <p_(t а формулу (7.94) можно записать так:

А

ф<, = — (7.95)

Очевидно, такие же выкладки будут справедливы и для вто­рой координаты, т. е. долготы. Формула (7.93) дает основание за начало локальной системы координат принимать счислимую точку.

Теперь получим формулу для оценки точности х. Возвра­тимся к формуле (7.87), подставив в нее выражение для опти­мального весового коэффициента к, тогда имеем возможность получить следующие две эквивалентные формулы:

т² = т\т\!{т\ + т²₂), (7.9G)

ИЛИ

_m2_=ma₁(_l — Jfe> _ (7.97)

Формулы (7.89), (7.95) и (7.97) легко записать для любых размерностей уравнений в матричном виде;

K=Pt-i(Pi-i + Pf)^_l; (7.98)

Xi, _i__i = X_i-_I + K(X_i-X_i.-₁); (7.99)

Pi, ,-_, = (E — K)P;-i. (7.100)

где К—матрица усиления; P,-i, Pi — соответствующие ковариационные матрицы погрешностей координат счисления и обсервации.

Например, для = 2 и 6 = 3 матрицы X будут выглядеть так:

" U

{ Дф

ДХ = Х, — Х,_1— :

V Да

В расчетных формулах удобнее использовать не непосредст­венно координаты, а измерения навигационных параметров, по-

187

этому формулы (7.98) — (7.100) в терминах погрешностей из­мерений запишутся так:

K=P,-,A^T(AP_I-_IAr ₊ R_i)->_;

(7.98а)

л

ДХ,, <_i~AXi..i + K(Li —AAXi_i); Р<, {E — KA)Pi_i,

(7.99a) (7.100a)

где A — матрица для перевода единиц из размерности вектора АХ в раз­мерность вектора L; R, — ковариационная матрица погрешностей измерений навигационных параметров.

Формулы (7.98) — (7.100) можно записать в терминах СКП:

где k — коэффициент усиления.

Коэффициент усиления показывает, какую долю информа­ции несут в себе новые измерения (т. е. обсервованные коорди­наты). Если счисление всдется с большой погрешностью и вес счислимой точки мал по сравнению с весом достаточно точного обсервованного места, то коэффициент k близок единице, т. е. в коррекции счисления большая роль отводится измерениям. В предельном случае (вес счисления равен нулю, т. е. совершенно не учитывается) возвращаемся к задаче предыдущего парагра­фа, когда вероятнейшее место совпадает с обсервованным. Од­нако при достаточно частой коррекции счисления его погреш­ности не успевают увеличиться настолько, чтобы вес счислимой точки стал мал по сравнению с весом обсервованной. В этом случае (когда вес счисления достаточно велик) коэффициент усиления меньше единицы и стремится к пулю только при очень грубых, неточных измерениях.

Таким образом, вышеуказанные формулы определяют после­довательную коррекцию счислимых координат по мере поступ­ления измерений, поэтому данный метод назван последователь­ным (рекуррентным).

Если измерения проводятся с малой дискретностью, а при автоматизированной обработке информации это так, есть осно­вания сравнить МНК и последовательный МНК (ПМНК) с единых позиций в рамках теории случайных процессов погреш­ностей измерений.

Какую информацию использует МНК? Информацию о неко­тором среднем значении измеряемых величин, т. е. о математи­ческом ожидании случайных процессов измерений, и, конечно, информацию о дисперсии погрешностей измерений. ПМНК до­полнительно использует информацию о случайном процессе по- 188

к = №с{М²о+М⁷с)~^и,

А

Ф=Ф c+k((f₀ — ф с);

(7.101)

l^Xc-Vk{X₀ — Яс); М*= (I - k)AРс,

грешностей счисления (опять математическое ожидание и дис­персия), т. е. больший объем информации, и обеспечивает вслед­ствие этого выигрыш в точности.

Пример 7.4. В точке якорной стоянки с координатами ф=58° 20,0' N; ^=0r00,0^/w уточнили место судна по трем линиям положения (см. при­мер 7.2), а затем использовали еще одно измерение по РНС, Необходимо определить обсервованные координаты с учетом последнего измерения и оценить их точность при условии, что СКП нового измерения т=] кбт.

Решение. В качестве начала локальной системы координат удобно вос­пользоваться указанными счислимыми координатами. Уравнение линии по­ложения, соответствующее последнему измерению, имеет вид 5Дф+2Л^'= 1.

Ковариационную матрицу погрешностей координат по трем неравноточ­ным линиям положения находим в примере 7.3, а ковариационная матрица погрешностей последних измерений R = m²=] кбт² вырождается в число, так как измерение единственно.

Применим формулы (7.98а) — (7.100а). Итак, матрицы следующие:

, 0,73 —0 64 \ / 0,62 \

Р«~1- ; R=l; А=(5 2); AXi_,= ' ;

V—0,64 0,58 J V—0,20/

„ / 0,73 -0,64 W5\ Г / 0,73 -0,64 \ /5\ ]-» / 0,27 \

U64 0,58 ) У 1⁽° ²⁾ ( -0,04 0,58 J У ⁺'J = (-0,23 }

\ — 0,26 I \ — 0,23 / L 1-0,26 }\ V + 0,257

Обсервованные координаты после округления и с учетом последнего измерения

ф = 58° 20,0Ч0,2' = 58° 20,2' N;

Я = 0! ° 00,0'+0,5' = 0° 59,5'W.

Теперь рассчитаем ковариационную матрицу оценки координат и СКГ1 места с учетом последнего измерения:

_ /10\ / 0,27 \ I/ 0,73 —0,(54 \ / 0,09 -0,09 \ 1 ) V—0,23 j J 1 — 0,64 0,58 / \—0,09 0,11 J • А1 — |0,09 4-0,1 f ^0,4 кбт.

Следовательно, точность определения места судна существенно повыси­лась вследствие использования еще одной линии положения.

7.9. Оптимальный фильтр Калмана

По алгоритму ПМНК более точно находят оптимальные ко­ординаты, чем традиционным методом наименьших квадратов, так как используют для этого информацию о внешних измере­ниях и о счислении. Можно ли еще повысить точность? Для этого необходима дополнительная информация. Откуда се мож­но взять?

Случайные процессы погрешностей счисления и погрешнос­тей обсерваций описываются тремя характеристиками: матема­тическим ожиданием, дисперсией и автокорреляционной функ-

189

дней (АКФ). В этих трех параметрах заключена вся информа­ция о процессах. Информация о среднем и о дисперсии процес­сов погрешностей счислений и измерений уже была использова­на в алгоритмах. Какую информацию о процессе несет автокорреляционная функция? В чем заключается эта инфор­мация? Автокорреляционная функция определяет коэффициент корреляции между последующими и предыдущими значениями случайного процесса, поэтому, зная предыдущее значение слу­чайного процесса, можно предсказать последующее. Автокорре­ляционная функция и содержит в себе информацию об этой связи.

Для того чтобы понять, как использовать эту информацию, представим, что вместо счислимых координат в методе ПМ.НК будем использовать предсказанные координаты. Очевидно, что они точнее, чем счислимые (при условии достаточно точного прогноза погрешностей счисления). Если бы можно было точно прогнозировать погрешность счисления, то предсказанные коор­динаты совпали бы с истинными, но это невозможно. Однако, используя информацию об автокорреляции процесса погреш­ностей счисления, можно прогнозировать эти величины с неко­торой точностью.

Зная счнслнмые координаты и прогнозируя на основе ин­формации в АКФ погрешности счисления, можно вычислить бо­лее точные координаты места судна, которые уже затем ском­плектовать с измерениями по другой навигационной системе

Линейное прогнозирование погрешностей счисления осуще­ствляют посредством коэффициентов фи, которые рассчитывают из АКФ, т. е. для прогнозирования погрешностей счисления ис­пользуют модель погрешностей, полученную на основе априор­ной информации о виде и параметрах АКФ- Таким образом,

Здесь предсказанная погрешность счисления ДХ^ связана с предыдущей \Х_С коэффициентом Ф, зависящим от вида авто­корреляционной функции и А/ — интервала времени между по­следовательными моментами определения места. Поэтому пер­вое слагаемое в формуле (1.102) и есть прогноз погрешности счисления. Второе слагаемое определяет неточность модели. Это моделирование шума счисления. Шум счисления — это аб­солютно некоррелированный процесс (вся корреляция учтена в матрице Ф) с дисперсией, равной квадрату СКП счисления. Таким образом, в конкретный момент времени к предсказанию добавляется случайная величина, имеющая дисперсию, завися­щую от интервала времени А/. Коэффициенты Ф и С опреде­ляют веса обеих составляющих. При сильной корреляции про-

190

Рис. 7.8. Графическое изображение весов координат в оптимальном фильтре Калмана

десса погрешностей счисления и малых интервалах их пред­сказания А/ коэффициент С очень мал, и соответственно по­грешность модели незначительна. При малой корреляции и зна­чительных интервалах предсказания, наоборот, вес первого слагаемого мал и погрешности предсказаний выше вследствие роста второго слагаемого.

Осталось выяснить, как же определить предыдущее значе­ние погрешности счисления ДХс, ведь оно тоже неизвестно. Действительно, истинное значение этого вектора определить нельзя, но имеется возможность оценить эту погрешность, срав­нив оптимальные и счислимые координаты в предыдущий мо­мент времени (рис. 7.8). На этом рисунке, иллюстрирующем работу оптимального фильтра Кальмана (ОФК), стрелками показаны условные веса точек. Наибольший вес соответствует оптимальной (вероятнейшей) точке.

Теперь, зная погрешности счисления, имеем возможность получить предсказанные координаты

Х„ = Х —дх„. (7.103)

Чтобы воспользоваться формулами для вычисления места судна, полученными в предыдущем параграфе, необходимо оп­ределить ковариационную матрицу погрешностей предсказан­ных координат. Формулу для прогнозирования ковариационной матрицы находим из формулы (7.102) путем применения опе­рации математического ожидания к обеим частям равенства:

М(ДХ)=М(Ф.\Х)-! M(CV)

(7.104) 191

Начат

том

шзя точка

Вероятней

Счисление

О 6 С¹) О 6 О

ВдсерАация \ по РНС

Ь_а t+dt

t*nAt

Рис. 7.9. Графическое изображение динамики СКП при оценке координат судка посредством оптимального фильтра Калмана

Получим следующий результат:

где Р_п и Р_с — ковариационные матрицы погрешностей предсказанных и счислнмых координат;

Q — ковариационная матрица шума погрешностей счисления.

Таким образом выражение (7.105) моделирует динамику ко­вариационной матрицы погрешностей счисления на основе ин­формации в АКФ.

После того как получены предсказанные координаты и ко­вариационная матрица их погрешностей, можно использовать локальную систему координат с началом в (<р_п, А._п) и рассчитать оптимальные координаты и по алгоритму ПМНК (7.98) — (7.100) или по формулам (7.98а) — (7.100а), в которых следует считать, что Р,-1 = Р_П; Р; = Ро; Х,;~Хо; Х;-, = Х₍₁.

Такой рекуррентный алгоритм нахождения всроятнейшего места с течением времени действует все точнее и точнее. На рис. 7.9 условно показана динамика СКП комплсксируемых систем. Измерительная информация накапливается по мере ра­боты фильтра, и вес предсказанных координат становится все выше. При этом, как видно из формулы, коэффициент усиления постепенно уменьшается, т. е. учитываются измерения все с меньшим весом. В отличие от ПМНК в фильтре используются предсказанные координаты, которые являются более точными. Соответственно вес предсказанных координат выше, чем всс счислнмых, поэтому вес оптимальных координат, найденных посредством ОФК. выше, чем вес оптимальных координат, опре­

192

р_{п =} фр_сфт + с1₍

(7.105)

деленных посредством ПМНК. Это уточнение дает дополнитель­ная информация, взятая из автокорреляционной функции по­грешностей счисления.

Как источник дополнительной информации, можно исполь­зовать и автокорреляционную функцию погрешностей измере­ний, посредством которой можно предсказать погрешность измерений, повысить точность обсервованных координат. Но автокорреляционная функция погрешностей измерений несет намного меньше информации, чем автокорреляционная функ­ция погрешностей счисления, объем расчетов при этом возрас­тает, поэтому во многих случаях ограничиваются использова­нием фильтра в том виде, как это изложено выше.

Рассмотрены несколько алгоритмов обработки навигацион­ных измерений. Все они основаны на взвешивании информации, получаемой из различных источников, и различаются только объемом используемой информации, откуда и различная точ­ность этих алгоритмов. Сравним точность, которую они обеспе­чивают при одинаковых навигационных измерениях. Наимень­шую точность дает традиционный метод наименьших квадра­тов. В нем используется измерение навигационных параметров, т. е. информация о среднем, и дисперсия процесса погрешностей измерений. ПМНК более точен, так как использует счислимьге координаты и измерения навигационных параметров, т. е. ин­формацию о среднем и о дисперсиях процессов погрешностей счисления и измерения. В ОФК используется дополнительная информация, скрытая в автокорреляционых функциях процес­сов погрешностей счисления и измерений, что позволяет нахо­дить место судна с максимальной точностью.

Итак, точность расчета координат различна в зависимости от объема используемой априорной информации о характерис­тиках погрешностей счисления и РНС. Но ведь такая инфор­мация может быть неверной. Например, скорости нарастания погрешностей счисления или погрешности РНС могут в дей­ствительности иметь не те значения, которые заложены в алго­ритм. Используя неверную априорную информацию, можно вместо ожидаемой высокой точности определения места судна получить координаты с достаточно низкой точностью, а то и совсем неверные. Именно навигационный фильтр, в котором в отличие от МНК и ПМНК используется максимальный объем априорной информации, наиболее подвержен влиянию неточнос­тей этой информации.

Судоводитель должен постоянно помнить о том, что любое изменение условий плавания, частос маневрирование, приводя­щее к изменению характеристик погрешностей средств счисле­ния (например, гирокомпаса), может явиться причиной ухудше­ния работы фильтра. Именно в эти моменты судоводитель дол­жен более тщательно контролировать работу НАК.

Разработаны различные алгоритмы настройки (адаптации) навигационных фильтров к изменению внешних условий и об­работки грубых погрешностей измерений. Они позволяют со­хранить статус фильтра как самого точного метода обработки измерений.

Кратко сформулируем основные идеи комплексной обработ­ки навигационных измерений.

Во-первых, все перечисленные методы «работают» лишь «в среднем», т. е. реально конкретная обсервация может не соот­ветствовать теоретической точности, но если имеется много обсерваций в течение рейса, то в среднем точность их в резуль­тате рассмотренных методов будет выше, чем если бы исполь­зовался просто МНК-

Штурман должен всегда критически относиться к той ин­формации, которую выдает ему НАК, и знать следующее:

точность координат места судна зависит от точности комп- лексируемых измерений и адекватности априорной информа­ции текущим характеристикам погрешностей измерений;

оптимальная точка имеет точность не большую, чем точность счисления и РНС;

комплексная обработка информации расширяет возможности РНС, ее рабочую зону, повышает помехоустойчивость обсерва­ции;

последовательный алгоритм отрабатывает вектор сноса судна и другие систематические погрешности в течение опреде­ленного времени, что необходимо помнить, особенно при пла­вании в узкостях и частом маневрировании;

наибольшая реальная точность совместной обработки инфор­мации достигается при плавании судна на постоянном курсе с постоянной скоростью, т. е. на океанских переходах;

посредством ПМНК достигается выигрыш в точности по сравнению с использованием МНК вследствие привлечения ин­формации о погрешностях счисления, а при применении ОФК вследствие привлечения информации из автокорреляционных функций о статистической связи случайных ошибок во времени;

посредством фильтра Калмана эффективно обрабатывается информация от различных навигационных приборов, работа ко­торых основана на различных физических принципах.

7.10. Применение графических методов оценивания координат

Графические приемы прокладки линий положения па нави­гационной карте или специальном планшете позволяют избе­жать аналитических процедур вычисления координат вершин фигуры погрешностей (точек пересечения линий положения).

194

Так как линии положения (фигура погрешностей) уже зафик­сированы на карте, то остается найти место судна относительно этой фигуры. Существуют графические приемы отыскания точки в фигуре погрешностей на базе МНК, которая принимается за место судна. Рассмотрим так называемый центрографический метод уравнивания. Более строго графические методы следова­ло бы назвать графоаналитическими, так как графической ра­боте предшествуют вычисления.

Введем понятие веса линии положения. Традиционно это величина, обратно пропорциональная дисперсии погрешностей линии положения:

р_лп =г²/т², (7.106)

где g — модуль градиента навигационного параметра; т — СКП измере­ния навигационного параметра.

Введем понятие веса точки пересечения i-й и /-й линий по­ложения, следуя той же аналогии. Тогда это будет величина, обратная М²*/ точки, т. е.

' <^7]07>

М²ц

где Мц — СКП точки пересечения линий положения.

Раскроем формулу для Мц:

Мц=1/ът eoVmWT+^Wj.

В графоаналитических приемах нет смысла использовать коэффициент корреляции между погрешностями измерений, да­же если он не равен нулю, так как погрешности графических построений поглотят его информацию.

Теперь запишем формулу веса точки

i /S²ig²i . _2Д \ . . s²j \ ,₇₁._й,

= fe ^нп'^в« J ■ №Г ⁺ ^г) • ⁽⁷¹⁰⁸⁾

Если а измерения равноточны, что обычно встречается

при использовании астрономических методов определения мес­та, то вес pi} можно записать так:

pij = sin² 0,j. (7.109)

Здесь сокращены одинаковые множители у весов всех точек пересечения линий положения. Формула (7.109) и отражает ту реальную навигационную ситуацию, когда есть смысл исполь­зовать центрографический прием уравнивания. В остальных случаях лучше использовать аналитические методы.

Формула (7.109) для всех точек пересечения линий поло­жения в фигуре погрешностей более удобна в следующем виде:

Ра~А sin² 6(j, (7.110)

где А — общий произвольный коэффициент для фигуры погрешностей, приводящий веса рц к целым числам после округления.

195

Таблица 7.1. Зависимость веса точки от значения угла 9

е...."	0—12	12-22	22-30	СЧ>—Зб| 36-42		42-43	4е-5з[ 53-60	(Ч)—Ь7	67—76	7G—'JO
р	0	I	2	3	4	5	6 | 7	8	9	10

В соответствии с формулой (7.110) для Л=10 составлена табл. 7.1.

Из табл. 7.1 видно, что малые (до 12°) утлы 8 дают нулевой вес точки и эти точки можно не учитывать в уравнивании.

Теперь, зная веса точек пересечения линий положения, мож­но приступать к поиску весового среднего, который и реализует МНК. Для этого применим формулы рекуррентного МНК, при­чем можно работать с весами, а можно и с величинами М²ц.

На основе весов точек пересечения линий положения прове­дем уравнивание в следующем порядке.

1. На лист бумаги нанесем счислимую точку, являющуюся началом локальной системы координат Дср-О-Дда.

2. В удобном масштабе по направлению т, отложим перено­сы линий положения Arii= [Uoi — Ua)igi и построим линии по­ложения.

3. Рассчитаем по вышеуказанным формулам веса всех точек пересечения линий положения в фигуре погрешностей и надпи­шем их у вершин.

4. Для каждой пары точек найдем весовое среднее, исполь­зуя рекуррентные формулы МНК (рис. 7.10), т. е. найдем точ­ку с весом р 12, а затем оптимальную точку с весом р. Это гра­фическая интерпретация рекуррентного МНК-

В соответствии с формулой (7.101)

₌ ——^— L. (7.111)

A!²i ^-М^г2 P1+P2

По МНК вес оптимальной точки равен сумме весов, исполь­зуемых в обработке точек. Проверим, так ли это. Подставляя выражение веса в формулу СКП (7.101), имеем

~к)М\=\[{р_{+р₂). (7.112)

Откуда

Р^Рх+Рг- (7-ИЗ)

Проводя такие попарные вычисления, получим МНК-точку

т

с весом p-^Ypi, где m — число точек пересечения линий поло- i— 1

жения в фигуре погрешностей, т. е. т = С²_п — число сочетаний 196

Рис. 7.10. Графическое определение координат судна методом наимень- ших квадратов

из п линий положения по две.

А

Последняя точка с весом р является центром тяжести треугольника погрешностей или весовым средним всего множества точек пересечения,

если фигура не является тре-

угольником. Точность по- у ,k_Q следней точки может быть рассчитана последователь-

А иг к Е

ным применением формул (7.111) — (7.113) или таким образом:

V 11р. {7.114)

л

М =

Возможна также следующая запись: 1 /М* = |/М2₁ + 1/М²_г + ...+ \/м*_т,

(7.115)

откуда и находим М.

Если же снять все значения Дер;/ и Ашц точек пересечения, то можно использовать следующие формулы:

A(f — Spo-Aqjfj/SjPfi;

(7.116)

откуда

Aw=2pij&wijf2pij,

А А Д А

Фо = Фс+Аф; Яо = ?-с+Ла> sec<fm = X_c-(-A^.

(7.117)

Формулы (7,116) — (7.117) отличаются от последовательных формул тем, что дают сразу конечный результат, но это, одна­ко, не сокращает затрат на расчеты, так как требуется время для снятия приращений координат Ац>ц и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В В, Лукин А. Н., Григорьев В. В. Методические указания но курсу «Математические основы судовождеиия на тему „Опреде­ление веронтнейшего места судна"». Л.: ЛВИМУ, 1987. 61 с.

Баранов Ю. К. Использование радиотехнических средств в морской навигации. М.: Транспорт, 1988. 208 с. (Б-чка судоводителя).

Груздев Н. М. Оценка точности морского судовождения. М.: Транс­порт, 1989. 191 с.

Каврайский В. В. Избранные труды. М.: Изд-во ГУ ВМС. Т. 1. Астрономия и геодезия, 1956 368 е.; Т. 2, Математическая картография. 1958. 319 с.

Каманин В. И., Лаврентьев А. В., Скубко Р. А. Штурман флота: Справочник по кораблевождению / Под ред. А. Н. Мотрохова. М: Воениэдат, 1986. 539 с.

Кожухов В. П., Григорьев В. В., Лукип С. М. Математические основы судовождения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Транспорт, 1987. 208 с.

Кондрашихин В. Т. Определение места судна, 2-е изд., переоаб. и доп. М.: Транспорт, 1989. 230 с.

ЛогиновскнЙ В. А., Смоленцев С. В. Комплексная обработка навигационных измерений: Учеб, пособие. М.: В/О «Мортехинформреклама», 1988. 37 с.

Майстров Л. Е. Теория вероятностей: Исторический очерк. М.: Нау­ка, 1967. 320 с.

Матусевич Н. II. Справочник штурмана по математике. М.: Иэд-во ГУ ВМС. Вып. 1, 1948. 355 е.; Вып. 2. 1951. 143 с.

Скворцов М. И. Систематические погрешности в судовождении. М.: Транспорт, 1980. 168 с. (Б-чка судоводителя).

Справочник судоводителя по навигационной безопасности мореплавания/ В. Т. Кондрашихин, Б. В. Берлинских, А. С. Мальцев, Л. А. Козырь. Одесса: Маяк, 1990. 168 с.

Хлюстин Б. П. Мореходная астрономия. М.-Л.: Морской транспорт, 19&8. 507 с.

Юдович А. Б. Предотвращение навигационных аварий морских судов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Транспорт, 1988. 224 с.

Ющенко А. П. Способ наименьших квадратов. Л.: Морской транс­порт, 1956. 164 с.

Nishi S. How to apply Kalman Filter to Navigation-1//Кокай Navigati­on. 1977. № 52 P. 31—39.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . 3

Глава 1

Вспомогательные сведения из математики

1.1. Погрешности вычислительных операций ... .... 4

1.2. Измерение углов и дуг 7

1.3. Основы матричного исчисления 10

J.4. Линейная интерполяция и экстраполяция 14

Глава 2

Сферическая тригонометрия

2.1. Основные понятия сферической тригонометрии 17

2.2. Основные формулы сферической тригонометрии 22

23 Дополнительные формулы для косоугольных сферических тре­угольников 27

2.4. Правила Модюи — Нспера для прямоугольных сферических тре­угольников 31

2.5. Решение косоугольных, четвертных и элементарных сферических треугольников 33

Глава 3

Геометрия земного сфероида

3 1. Геоид, земной сфероид и референц-эллипсоид 38

3.2. Прямоугольные координаты точек на сфероиде, главные радиусы кривизны, длины дуг меридианов и параллелей 42

3.3. Геодезическая линия, прямая и обратная геодезические задачи . 52

3.4. Сферическое схождение меридианов 58

Глава 4

Основы математической картографии

4.1. Основные понятия и определения математической картографии . СО

4.2. Масштабы планов и карт 64

4.3. Элементы теории изображений - 66

4.4. Классификация картографических проекций 72

Глава 5

Погрешности навигационных измерений

5.1 Вероятность и частота 78

5.2. Случайные величины 82

5.3. Оснонные распределения 86

5.4. Системы случайных величин и случайные функции ..... 93

5.5. Классификация измерений и погрешностей 98

5.6. Случайные погрешности 100

5.7. Оценивание точности измерений 102

5.8. Систематические и взаимозависимые погрешности 106

199

по

114

115 120

Глава 6

Теория определения места судна по двум линиям положения с оценкой точности

6.1. Навигационные параметры и их изолинии

(i.2. Линеаризация уравнения изолинии

6.3, Определение координат места судна обобщенным методом линий

положения

С.4. Формулы градиентов навигационных параметров

6.5. Оценка точности обсервации по двум линиям положения .

6.6. Учет систематических погрешностей при определении места судна