2. Математическое описание сигналов в непрерывных линейных стохастических системах.

Под случайным (стохастическим) процессом подразумевают такую функцию времени U(t), значения которой в каждый момент времени случайны. Точно предсказать, какой будет реализация в очередном опыте, принципиально невозможно. Могут быть определены лишь статистические данные, характеризующие все множество возможных реализаций, называемое ансамблем.

В соответствии с определением, случайный процесс U(t) может быть описан системой N обычно зависимых случайных величин U₁ = = U(t₁),…, U_i = U(t_i),…, U_N = = U(t_N), взятых в различные моменты времени.

Для оценки степени статистической зависимости мгновенных значений процесса U(t) в произвольные моменты времени t₁ и t₂ используется неслучайная функция аргументов R_U(t₁, t₂), которая называется автокорреляционной или просто корреляционной функцией. При конкретных аргументах t₁ и t₂ она равна корреляционному моменту значений процесса U(t₁) и U(t₂):

. (1.17)

Через двумерную плотность вероятности выражение (1.17) представляется в виде

(1.28)

В силу симметричности этой формулы относительно аргументов справедливо равенство

. (1.19)

Для стационарных эргодических процессов справедливы соотношения:

для математического ожидания сигнала U(t)

; (1.20)

для дисперсии сигнала

; (1.21)

для корреляционной функции сигнала

. (1.22)

Дисперсия сигнала U(t) равна корреляционной функции при  = 0:

.

Спектральная плотность стационарных процессов

. (1.30)

Выражение (1.30) называют формулой Релея, которая соответствует энергетической форме интеграла Фурье. Для нахождения энергии рассматриваемого процесса вместо бесконечного интервала наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему интервалу [∞, ∞] или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам [∞, ∞]. Для большинства процессов энергия за бесконечный интервал стремится к бесконечности, что неудобно в технических приложениях. В связи с этим удобнее вместо энергии использовать среднюю мощность процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения, тогда на основании формулы (1.30) получим

. (1.31)

Введем обозначение

, (1.32)

которое получило название спектральной плотности.

С учетом (1.32) перепишем выражение (1.31)

, (1.33)

где ū² – средний квадрат рассматриваемой величины u(t).

Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по частотам [∞, ∞] дает средний квадрат исходной функции времени u(t). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от ω до ω + dω.

Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье:

; (1.34)

. (1.35)

3. Математическое описание сигналов в линейных дискретных системах.

Из анализа спектров сигналов можно заключить, что наименьшая частота квантования для возможности восстановления сигнала равна , где – наивысшая частота, содержащаяся в спектре . Формально это положение известно как импульсная теорема. Теорема утверждает, что если сигнал не содержит частот выше, чем радиан в секунду, он полностью описывается своими значениями, измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд.

В соответствии с импульсной теоремой непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

Преобразование Фурье:

По условию теоремы функция F равна нулю вне интервала . Если , то

.

Значение непрерывной функции на основе равно

Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем

Однако реально на выбор частоты квантования влияют требование устойчивости замкнутых систем и другие практические соображении, которые могут сделать необходимым квантование сигнала с частотой более высокой, чем теоретический минимум. Более того, сигналы с ограниченным спектром физически не существуют в системах связи или управления. Все физические сигналы, существующие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастотных составляющих значительно ослаблены, предполагается, что сигнал имеет ограниченный спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализуемостью идеального низкочастотного фильтра делают невозможным точное воспроизведение непрерывного сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.

Следует привести замечание по поводу импульсной теоремы: сигнал все же может быть полностью определен при квантовании его со скоростью меньшей, чем радиан в секунду, если в моменты выборки известна информация, как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Фогель и другие доказали, что если сигнал не содержит частот больших, чем радиан в секунду, он полностью определяется значениями и , измеренными в дискретные моменты времени с интервалом секунд, где

(4.53)

Это означает, что если кроме значений в моменты известны значения первой производной , то максимально допустимый период квантования . Это вдвое больше периода, необходимого при измерении только . Добавление каждой последующей производной позволяет увеличивать интервал между выборками до величины , где n – порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.