Алгебраические: Критерий Гаусса.

Пусть будет уравнение 7-го порядка:

Анализируем знаки 1-го столбца. Если один и тот же знак у всех коэффициентов, значит, система устойчива. Это достаточно лёгкая задача.

Критерий Гурвица.

Для начало записываются две строки: в начале нечётные, затем чётные:

Всё это будем делать пока мы не сформируем матрицу подходящего размера (если уравнение 7-го порядка, то последнее число будет а7).

1. а1, 2) , 3)

И т.д. до 7-го порядка. Находим определители, и система является устойчивой, если окажется, что все определители будут >0.

ЧАСТОТНЫЕ: Михайлова:

a0=1; p^n+a1*p^(n-1)+a2*p^(n-2)+…+an=0

Д опустим, мы имеем модель в форме д.у. движения системы, и по этому уравнению мы записали это характеристическое уравнение.

Формально оператор р заменяем на (јω):

(јω)^n+a1*(јω)^(n-1)+…+an=0.

Если раскрыть скобки то можем выделить:

Re(ω)+ јIm(ω)=0.

Затем можно построить: ω[0; ].

Пусть наша система д.у. 1-го порядка (один корень). Возьмём корень соответствующей естественной системе: (p-p1)=0; p1=- .

Заменим оператор р на (јω): јω+ =0.

Н ачинаем находить точки: ω=0; ω=1; ω=2; при ω= , наш вектор повернётся на против часовой стрелки.

Возьмём систему 2-го порядка:

(p-p1)*(p-p2)=0; p1= - 1; p2= - 2, (јω+ 1 )*( јω+ 2 )=0.

Амплитуды перемножаются, углы складываются:

A1*e^(ј*φ1(ω)); A2*e^(ј*φ2(ω))

→A1*A2* e^(ј*(φ1(ω)+ φ2(ω)))

φ(ω)=n* ; ω[0; ].

Если берём комплексные числа, то правило сохраняется. Если годограф проходит через нулевую точку, то можно сказать, что система находится на границе устойчивости.

8. Критерий устойчивости дискретных линейных систем.

Рассмотри систему вида: Х(к+1)=А*Х(к)+В*U(к)

Нам надо оценить, как будет меняться Х в зависимости от того, какие будут начальные условия: U(к)=0; Х(к+1)= А*Х(к).

Мы зададимся разными начальными условиями: X(0), такими, что ошибка (X(0) - )<δ.

(X(к+1) - )<ε - число, которым мы можем задаться сами произвольно.

Когда при условии , а в этом случае асимптотная система устойчива.

На сегодняшний день есть понятие, когда U(к) 0.

Возьмём с начала скалярную систему:

Х(к+1)=А*Х(к)+В*U(к)

U(к)=0; Х(к+1)= А*Х(к)

X(0) 0; Х(к+1)= a*Х(к)

X(1)=a*X(0)

X(2)=a*X(1)=a^2*X(0) … X(k)=a^k*X(0)

; X(k) 0.

Когда, а=0, то, а^к не играет значения.

Когда, а<1, то, а^к будет уменьшаться, и <1 не играет роли, какой знак имеет а в данном случае.

Сделаем Z преобразование: Z*X(z)=a*X(z), (Z-a)*X(z)=0

Мы видим, что мы можем Z-a=0 Z=a. Когда <1 система устойчива.

Характеристическое уравнение для заданной системы:

a 0*Z^n+a1*Z^(n-1)+…+an=0.

Когда хотя бы один корень будет > 1, то наша система неустойчива. Если хотя бы один корень будет = 1, то система находится на границе устойчивости.

Для матрицы А необходимо найти собственные числа, и когда они будут по модулю < 1, то наша система является устойчивой.

9. Критерий устойчивости дискретных нелинейных систем.

   Частотный критерий устойчивости Попова. Он основан на методе интегральных оценок изучаемой системы на конечном интервале времени [0, T]. Пусть имеется описание линейной части системы в форме весовой g(t  l) и частотной передаточной W(j) функции.

Структурная схема системы представлена на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Структурная схема линейной системы

Интегральное уравнение, соответствующее приведенной системе, имеет вид . (3.55)

Попов использовал интегральную оценку (3.56)

Для того чтобы нелинейная стационарная система была абсолютно устойчива в секторе [0, k], достаточно, чтобы существовало такое действительное число q, при котором для всех w ³ 0 выполнялось неравенство (3.57)

Для проверки критерия Попова необходимо построить на комплексной плоскости годограф видоизмененной частотной характеристики

(3.60)

и отложить точку на отрицательной части вещественной оси, равную k^1. Eсли через точку –k^1 можно провести прямую, позволяющую годографу W₁(j) находиться целиком справа от нее, то система абсолютно устойчива (рис. 3.17).

ImW₁(j)

ReW₁(j)

Рис. 3.17. Геометрическое представление критерия Попова

Поскольку все полюса W(p) находятся в левой плоскости Res > 0, поэтому условие (3.57) эквивалентно

(3.61)

где D достаточно мало.

Для доказательства рассмотрим функционал Попова со связью (3.55) и производной от s(t), равной

. (3.62)

Подставив (3.55) и (3.62) в (3.56), запишем

(3.63)

где (3.64)

(3.65)

Тогда . (3.66)

Используя неравество Коши  Буняковского, запишем

. (3.67)

На основе формулы Парсевеля перепишем (3.65) в виде

. (3.68)

При достаточно малом положительном D с учетом (3.61) перепишем (3.68): . (3.69)

Сравнивая (3.66), (3.67) и (3.69), имеем (3.70)

где .

Анализ последнего неравенства показывает, что

. (3.71)

Откуда ||x|| £ ¥.

Известна лемма о том, что если в линейной системе

(3.72)

и выполнены условия , (3.73)

то (3.74)

Таким образом, система, удовлетворяющая критерию Попова, обеспечивает выполнение абсолютной устойчивости.