Дифференцируемость функции. Полный дифференциал

Определение. Полным приращением функции в точке называется разность .

Определение. Если полное приращение функции в точке можно представить в виде

, (3)

где и не зависят от и , а и стремятся к нулю при и , то функция называется дифференцируемой в точке .

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней, так как при и , а, значит, и .

Из дифференцируемости функции в точке также следует существование её частных производных в этой точке. В самом деле, деля обе части равенства (3) на и полагая , имеем . Переходя к пределу при , получаем, что . Аналогично, .

Определение. Часть полного приращения (3), линейно зависящая от и , называется полным дифференциалом функции в точке и обозначается символом .

Если функция дифференцируемая, то . Обычно полагают , , и тогда полный дифференциал записывается так:

. (4)

Пример 4. Найти полный дифференциал функции .

Подставляя в (4) частные производные, найденные в примере 3, имеем:

.

Вопрос. Достаточно ли для дифференцируемости функции нескольких переменных одного только существования её частных производных?

Ответ. Нет. Нужно ещё, чтобы частные производные были непрерывны, в этом состоит отличие от дифференцируемости функции одного переменного.

Производные сложной функции

Рассмотрим основные случаи.

I. Пусть , где , . Тогда фактически является функцией одной переменной : . Если существуют непрерывные частные производные и , и существуют производные и , то существует производная , вычисляемая по формуле

. (5)

Обратите внимание на то, когда пишется «круглое » и «прямое » в обозначениях производных.

В частности, если роль независимой переменной играет , т.е. , то , и по формуле (5) получаем

. (6)

Производную , вычисляемую по формуле (6), называют полной производной (в физике – материальной производной).

II. Пусть , где , и существуют производные , тогда через посредство зависит от двух переменных и , т.е. , и можно говорить о её частных производных и , которые находятся по формулам

(7)

(обратите внимание на обозначения производных).

III. Пусть и , , тогда является сложной функцией от и : . Если существуют непрерывные производные и , и существуют производные , то существуют частные производные и сложной функции , которые вычисляются по формулам

, . (8)

Производные функций, заданных неявно

Пусть дано уравнение

, (9)

левая часть которого задана в некоторой области изменения переменных и , например, в прямоугольнике , .

Если для каждого значения переменной существует одно (или несколько) значений переменной , которое (которые) вместе с удовлетворяет уравнению (9), то уравнение (9) определяет как однозначную (многозначную) функцию переменной , называемую неявно заданной функцией. Для всех тогда .

Пример 5. Уравнение при определяет как двузначную неявную функцию переменной . В явном виде эта функция имеет вид , её графиком являются верхняя (знак +) и нижняя (знак – ) полуокружности радиуса с центром в начале координат.

Часто неявно заданную функцию в явном виде записать не удаётся. Однако производную такой функции можно найти с помощью следующей теоремы.

Теорема. Пусть функция и её частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки , причём , . Тогда существует окрестность точки , такая, что в ней уравнение определяет однозначную дифференцируемую функцию , производная которой в точке вычисляется по формуле

. (10)

При выполнении аналогичных условий уравнение определяет как неявно заданную однозначную или многозначную функцию двух переменных и , частные производные которой в точке вычисляются по формулам

, . (11)