Экстремум функции двух переменных

Определение. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум). Максимумы и минимумы функции объединяются общим названием экстремумы.

Определение. Точки, в которых обе частные производные функции обращаются в нуль, называются стационарными.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то эта точка стационарная.

Функция может иметь экстремум в точке и тогда, когда она не дифференцируема в этой точке, то есть когда хотя бы одна из её частных производных обращается в бесконечность или не существует. Такие точки вместе со стационарными носят общее название критических точек функции или точек возможного экстремума.

В критической точке функция может не иметь экстремума. Для его существования требуется выполнение достаточных условий экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных).

Если в стационарной критической точке функции выполняется неравенство , то функция имеет в точке экстремум: минимум, если , и максимум, если . Если  , то в точке функция не имеет экстремума.

Замечание 1. Если  , то экстремум в точке может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование с привлечением производных более высокого порядка).

Замечание 2. В теореме речь идёт только о стационарной точке. В прочих критических точках наличие или отсутствие экстремума определяется другими методами.

Пример 6. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Частные производные , обращаются в нуль в стационарных точках и . Других критических точек у функции нет.

Найдём вторые производные , , . В точке имеем , следовательно, в этой точке нет экстремума. В точке величина , причём , следовательно, функция имеет минимум: .

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области . Ясно, что этих значений функция может достигать только в точках экстремума внутри области , либо на её границе. Выполнять полное исследование функции на экстремум здесь оказывается излишним, достаточно найти значения функции во всех точках возможного экстремума, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее. При поиске точек возможного экстремума на границе области нужно использовать уравнение границы, что сводит поиск к нахождению критических точек функции одной переменной на отрезке.

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в треугольнике ОАВ с вершинами .

Решение. Критические точки функции найдены ранее в примере 6, это точки и , из них только попадает внутрь треугольника. Находим .

Теперь займёмся границей треугольника , состоящей из трёх отрезков. Уравнение отрезка , при этом меняется от 0 до 3. Подставляя уравнение в функцию , получаем функцию одной переменной , заданную при . Находим критическую точку из условия и вычисляем значения функции в ней и на концах промежутка: , .

Проделываем то же для двух других участков границы. Отрезок имеет уравнение , при этом y меняется от 0 до 3. Подставляя в z, получаем функцию , где . , (уже было найдено выше), .

Уравнение отрезка АВ . Подставляя в z, получаем функцию , где . Уравнение имеет корень . Вычисляем , значения при и были вычислены выше (точки А и В).

Выбираем из найденных значений (подчёркнуты) наибольшее и наименьшее: в точках А и В, в точке М.

Скалярное поле

Пусть функция ставит в соответствие каждой точке некоторой области определённое число . Множество точек вместе с приписанными этим точкам числами называется скалярным полем. Скалярным полем называют также и саму функцию .

Если – множество точек на плоскости (в пространстве), то скалярное поле называется плоским (пространственным).

Примеры. Пространственное поле температуры в области, занятой нагретым телом. Плоское поле освещённости, создаваемое источником света (настольной лампой) на крышке стола.

Пусть – плоское скалярное поле в некоторой области плоскости . Уравнение определяет множество точек области , в котором поле имеет одно и то же значение, равное С. Это множество называется линией уровня скалярного поля . Придавая параметру С различные значения, получаем семейство линий уровня данного поля, описываемое уравнением .

Примеры. Изотермы. Эквипотенциальные линии. Горизонтали на географических картах.

Точно так же для пространственного скалярного поля уравнение определяет семейство поверхностей уровня, во всех точках каждой из которых поле имеет одно и то же значение.

Вид и взаимное расположение линий (или поверхностей) уровня даёт наглядное представление о скалярном поле.

Производная по направлению

Пусть – скалярное поле, заданное в области . Рассмотрим точку и проведём через неё прямую , задав на ней определённое направление единичным вектором (ортом) . Возьмём на прямой в направлении орта точку , близкую к точке , и составим отношение , где – расстояние между точками и . Пусть теперь точка стремится к точке вдоль прямой , так что расстояние . Если при этом существует конечный предел отношения, то он называется производной скалярного поля в точке по направлению вектора и обозначается

. (18)

Производная (18) равна мгновенной скорости изменения поля в точке в направлении . В частности, если , то поле возрастает (убывает) при переходе через точку в направлении .

Если ввести прямоугольную систему координат , то координаты орта равны его направляющим косинусам: , и формула для вычисления производной поля в точке по направлению вектора имеет вид

. (19)

Если поле – плоское, то и

. (20)

Градиент

Пусть – скалярное поле, определённое и дифференцируемое в области . В каждой точке области определим вектор

. (17)

Этот вектор называется градиентом скалярного поля в точке .

Отметим наиболее важные свойства градиента:

1. Производная скалярного поля в точке в направлении вектора равна проекции градиента на направление вектора .

2. Градиент скалярного поля в точке направлен по нормали к поверхности уровня поля, проходящей через точку , в сторону возрастания поля, а его длина равна модулю производной поля в направлении этой нормали.

3. Вектор в данной точке направлен в сторону наибыстрейшего возрастания поля в этой точке, а его модуль равен скорости этого наибыстрейшего возрастания.

14