Вопросы для подготовки к экзамену

1. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: возведение в степень и извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.

4. Комплексные функции действительного аргумента: определение, график, предел, непрерывность, дифференцирование.

5. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, дифференцирование.

6. Уравнения касательной (прямой) и нормальной плоскости к пространственной кривой.

7. Кривизна. Радиус и центр кривизны.

8. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования.

9. Интегрирование заменой переменной и по частям.

10. Интегрирование рациональных дробей.

11. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и иррациональные функции.

12. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

13. Определение определенного интеграла, основные свойства определенного интеграла.

14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по его переменному верхнему пределу.

15. Формула Ньютона-Лейбница.

16. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

17. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

18. Приложения определенного интеграла к решению задач геометрии, физики, механики.

19. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

20. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства). Задача Коши.

21. Решение уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных уравнений.

22. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

23. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

24. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения.

25. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод их решения.

26. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения.

27. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

28. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод исключения для решения нормальных систем.

29. Понятие числового ряда, суммы ряда, сходимости ряда.

30. Необходимый признак сходимости ряда.

31. Признаки сравнения сходимости рядов с положительными членами.

32. Признаки сходимости Даламбера и Коши для рядов с положительными членами.

33. Интегральный признак сходимости рядов с положительными членами.

34. Обобщенный гармонический ряд и его сходимость.

35. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.

36. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

37. Функциональные ряды, основные понятия.

38. Степенные ряды, основные понятия. Теорема Абеля. Свойства сходящихся степенных рядов.

39. Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки x₀.

40. Приближенные вычисления с помощью рядов.

41. Ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды. Достаточные условия разложимости функций в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье для четных и нечетных функций.