Доказательство:

M=N=O

Четырехугольник ABCD-параллелограмм, т.к. BCAD=O и BO=OC и AO=OD

Т.к ABCD- параллелограмм, то AB | | CD и AB=CD, т.е. |AB|=|CD|

Т.к. AB | | CD, то AB | | CD

Т.к. что и требовалось доказать.

Задача2: Доказать, что AB=CD, если существует параллельный перенос, переводящий т.A в т.С и т.B в т.D

При параллельном переносе точки перемещаются по параллельным прямым и на одно и тоже расстояние. Совершим параллельный перенос относительно прямой , т.е. AC | | l BD | | l  AC | | BD. Т.к. это параллельный перенос, то AC=BD.

ABC=BCD (1 признак равенства ; AC=BD, BC-общая сторона; DBC=ACB, т.к. AB=CD  BC – секущая)

ABC=BCDAB=CD. Т.к. (|AB|=|CD| AB | | CD). Т.к. ч.т.д.

Задача3: Доказать, что равенство векторов на множестве векторов есть отношение эквивалентности, т.е. обладают свойствами:

1⁰. a, a=a (рефлексивность)

2⁰. a,b a=bb=a (симметричность)

3⁰. a,b,c (транзитивность)

a, a=a

1. a,b a=bb=a

a=b

a,b,c

2.Сложение векторов.

Пусть дан вектор а и О - произвольная точка плоскости. Построим вектор ОА=а

Откладывание вектора от точки.

Мы перенесли начало вектора а в т.О. Пусть a,b – два вектора плоскости. Построим вектор ОА=а, затем построим вектор АВ=b. Тогда вектор ОВ называется их суммой. Описанный способ сложения векторов называется правилом треугольника: чтоб сложить два вектора, достаточно начало второго вектора поместить в конец первого, тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго будет их суммой

Из этого правила следует лемма о трех точках  А,В,С имеет место равенство: АВ+ВС=АС

Правило треугольника, сформулированное для сложения двух векторов, обобщается на случай любого числа векторов. В этом случае оно называется правилом многоугольника: чтобы сложить несколько векторов, достаточно отложить первый вектор от произвольной точки, поместить начало второго в конец первого, начало третьего в конец второго и т.д., следует помещать начало следующего вектора в конец предыдущего, тогда вектор начало которого совпадает с началом первого, а коней с концом последнего будет суммой этих векторов.

Имеет место следующее утверждение: для того, чтобы конечная система векторов a₁,a₂,…,a_n образовывала замкнутую ломанную, необходимо и достаточно, чтобы a₁₊a₂₊…₊a_n=0..

Если два вектора a и b не коллинеарны, то их можно сложить по правилу параллелограмма.

Для этого надо:

1. построить вектор ОА=А

2. ОB=b

3. На этих векторах построить параллелограмм, диагональю этого параллелограмма будет вектор ОС=a+b

Свойства сложения векторов

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1⁰ Свойство ассоциативности

(a+b)+c=a+(b+c)

2⁰ а+0=a (нулевой вектор является нейтральным элементом сложения)

3⁰ а+(-а)=0

4⁰ Свойство коммутативности

a+b=b+a

Df: Множества с одной операцией, обладающей первыми тремя свойствами, называется группой; если группа выполняет 4⁰ свойство, то она называется коммутативной (абелевой)

Поэтому, если мы обозначим множество векторов через V, то (V,+)-абелева группа.

Докажем свойства.

1⁰. Доказательство:

Построим OA=a, AB=b, BC=c

Для 3-х точек А, В, С мы можем записать: ОВ=ОА+АВ=a+b

O, B, C OC=OB+BC=(a+b)+с (1) A, B, C AC=AB+BC=b+c O, A, С OC=OA+AC=a+(b+c) (2) Из (1) И (2) следует (a+b)+c=a+(b+c)

3⁰ Построим OA=a? Тогда АО=-а; О, А, О ОА+АО=ООа+(-а)=0

2⁰ Построим ОА=а

О, А, А ОА+АА=ОА; а+0=а

4⁰ При доказательстве этого свойства рассмотрим два случая:

1. Векторы а и b не коллинеарны. Построим ОА=а и ОВ=b и сложим их по правилу параллелограмма

ОС=a+b (1)

O, B, С OC=OB+BC

Из того, что OBCA-параллелограмм следует

Из (1) и (2)  a+b=b+a

2. Вектора а и b коллинеарны, т.е. a | | b

Построим OA=a и OB=b

OB=a+b (3)

a | | b B(OA)

Возьмем D(OA)

O, D, BOB=OD+DB=DB+OD (4)

D, A, BDB=DA+AB=AB+DA (5)

O, A, DOD=OA+AD=AD+OA (6)

Подставляя (5) и (6) в (4) получаем:

OB=(AB+DA)+(AD+OA)=AB+(DA+AD)+OA=AB+DD+OA=b+0+a=b+a (7)

Из (3) и (7)  a+b=b+a