1. Проекция вектора на ось

Df: Прямая, на которой задан единственный вектор, выделяющий одно из её направлений (которое мы назовем положительным) назовем осью

Пусть дана ось и пусть = - произвольный вектор плоскости

= 

= 

= - проекции вектора

= на ось

Проекцией вектора на ось

обозначают : =

Величина проекции вектора на ось обозначается :

Проекция вектора на ось обладает свойствами :

1⁰. ( =

2⁰. ( ) = 

Величина проекции обладает свойствами :

А). ( ) = +

Б). ( ) = 

В). =   cos (  )

2. Скалярное произведение двух векторов. Определение и свойства

DF: скалярным произведением 2-х векторов ( ) называется число ( ( cos( , )

Если один из сомножителей 0 , то по определению скалярного произведения равно нулю

( ) =   cos ( ,  )

Учитывая, что  cos ( , ) =

 cos ( , ) =  cos(-( , )) =  cos ( , ) =

( ) =   =  

Свойства скалярного произведения 2-х векторов :

Геометрические свойства

1⁰. Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата вектора

 = , где = ( )

= ( ) =   cos (  ) =   cos =  ²

 =

2⁰. cos (  ) =

Следует из определения скалярного произведения 2-х векторов.

3⁰. Пусть  ,  0 , тогда   ( ) = 0

  ( ) = 0

Доказательство :

1. необходимость :

  ( , ) = 90⁰  cos ( , ) = 0

 ( ) = 0

( , ) =    cos ( , )

2. достаточность :

( ) = 0

   0  cos ( , )=0 ( , )=80⁰  

   0

( ) =    cos ( , )

Алгебраические свойства:

4⁰. Скалярное произведение коммутативно

( a b) = ( b a )

Доказательство:

(a b) = | a | | b | cos (a ^, b ) = | b | | a | cos (-( b,^ a )) = | b | | a | cos ( b, ^ a) = ( b a )

5⁰. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения

(( a ) b )   ( a b )

Доказательство:

(( a ) b ) = b np_b (  a ) = | b |  np_b a =  ( a b )

6⁰. Cкалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов

(( a + b ) c ) = ( a c ) + ( b c )

Доказательство:

(( a + b) c) = | c |np_c ( a + b ) = | c |( np_c a + np_c b) = | c |np_c a + | c |np_c b = ( a c ) + ( bc)

3. Вычисление скалярного произведения векторов в координатах

Вычисление скалярного произведения векторов в координатах наиболее просто в том случае, когда вектора заданы своими координатами относительно ортонормированного базиса.

B = ( i , j ) - ортонормированный базис

(1)

Пусть даны 2 вектора: a и b , имеющие координаты относительно ортонормированного базиса a ( a₁ , a₂ ) b ( b₁ , b₂ )

Тогда ( a b ) = a₁b₁ + a₂b₂

Доказательство:

a ( a₁,a₂ )  a = a₁i + a₂j

b ( b₁,b₂ ) b = b₁j + b₂j

( a b ) = a₁b₁j² + a₁b₂ (i j ) + a₂b₁ ( j i ) + a₂b₂j² = a₁b₁ + a₂b₂

( a b ) = a₁b₁ + a₂b₂

Следствия: Из геометрических свойств скалярного произведения и формулы

скалярного произведения координат, вытекают свойства:

1). | a | =

2). cos ( a ^, b ) = =

3). a  b  a₁b₁ + a₂b₂ = 0

4). a⁰ = a

a⁰

Метод координат на плоскости.

Лекция 5

Афинная система координат на плоскости

Основные задачи на метод координат