1.2.3 Випадковий процес
Для імовірнісної системи
,
що складається з простору елементарних
подій
,
множини подій
та імовірнісної міри
та для якої визначено випадкову величину
випадковий процес визначається наступним
чином [3]: для кожної елементарної події
визначається функція
.
Це сімейство функцій і утворює випадковий
процес [3, 6, 7]..
Для того, щоб повністю
охарактеризувати випадковий процес
необхідно визначити перш за все функцію
розподілу імовірності
.
Якщо час представляє собою клас цілих чи натуральних чисел, то говорять про випадкову послідовність [3, 8].
Якщо зафіксувати випадкову
подію
,
то в цьому випадку функція
являється невипадковою функцією
параметра
,
яку називають траєкторією
випадкового процесу,
або його реалізацією.
Щільність розподілу імовірностей випадкового процесу визначається як [3]
.
Середнє значення випадкового процесу можна визначити як
,
з метою спрощення позначення
зараз і в подальшому
замінено на
там де це можливо.
Автокореляційна функція процесу дорівнює
.
Для стаціонарного випадкового процесу
.
Тобто, в стаціонарному випадку
випадковий процес в кореляційній теорії
характеризується лише постійною (середнє
значення
)
та функцією однієї змінної
.
1.3 Деякі види законів розподілу дискретних випадкових величин
1.3.1 Біноміальний розподіл
Біноміальний розподіл – це розподіл числа появи подій в середовищі з незалежних випробувань.
1.3.2 Розподіл Пуассона
Випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо її можливі значення: 1, 2, 3, ..., , ... (нескінчена але злічуена множина значень), а відповідні імовірності описуються формулою [12]
(
).
Тобто, моделюється випадкова величина, що представляє собою кількість подій, які відбулися за фіксований час, за умови, що події відбуваються з деякою фіксованою середньою інтенсивністю та не залежать одна від одного [14].
Залежність значення імовірності від значення параметру розподілу представлена на рис. 1.1.
Р
исунок
1.1 Багатокутники розподілу Пуассона
для різних значень
Розподіл Пуассона має велику практичну роль. Це пов’язано з тим, що багато реальних процесів можуть бути представлені з його використанням.
Закон Пуассона залежить від одного параметру , що є одночасно математичним очікуванням та дисперсією випадкової величини.
1.3.2 Геометричний розподіл
Випадкова величина розподілена по геометричному закону, якщо її можливі значення 1, 2, 3, ..., , ..., а імовірності цих значень [12]
,
де
,
,
Тобто, це розподіл дискретної випадкової величини, що дорівнює кількості випробувань випадкового експерименту до спостереження першого „успіху” [14].
Математичне очікування випадкової величини, розподіленої за геометричним законом, а також його дисперсія та середньоквадратичне відхилення відповідно рівні
;
;
.
Г
еометричний
розподіл для
,
,
представлено
на рис. 1.3.
Рисунок 1.2 Геометричний розподіл випадкової величини