Аналитическая геометрия
Задача 1. Дан треугольник АВС: А(2,1), В(-1,3), С(-4,1). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Решение. Сделаем чертеж.
Y
D
B
3
E
C 1 A
-4 -1 0 2 X
1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
.
Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:
.
2. Найдем длину высоты АD. Используем формулу расстояния от точки до прямой:
.
Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.
.
3. Составим уравнение высоты АD. Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, kBC=2/3. Из условия перпендикулярности kAD=-1/kBC=-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
.
4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.
Точка Е (1/2,2).
5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ.kBC=2/3, kAB=-2/3.
6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде
AB: 2x+3y=7,
BC: 2x-3y=-11,
AC: y=1.
Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.
2x+3y=-2+6=4<7,
2x-3y=-2-6=-8>-11,
y=2>1.
Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид
Задача
2. Составить
каноническое уравнение гиперболы,
если известно, что ее эксцентриситет равен
1,25 и гипербола проходит через точку 
.
Решение. Каноническое
уравнение гиперболы имеет вид 
.
Так как гипербола проходит через
точку А(8; 
),
то ее
координаты удовлетворяют уравнению
гиперболы, т.е. 
. Так,
как 
= 1,25,
то 
=
1,25, но 
,
тогда 
=
1,5625
или 
.
Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b.
Решая
эту систему, находим
=
16 и 
=
9, следовательно, каноническое уравнение
гиперболы имеет вид 
.
Задача
3. Составить
уравнение прямой, проходящей через
вершину параболы 
и
центрокружности 
.
Решение. Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.
Уравнение
параболы: 
;
уравнение
окружности: 
.
Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).
Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле
.
Получим 
,
или 
.