4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Минором M_ij эл-та a_ij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца.

Если в м-це А размера mxn выделить какие-либо k ст-к и k ст-в (k ≤ min (m,n)),то опред-ль подм-цы из получаемых на пересечении этих строк и ст-в эл-в наз-ся минором k-го порядка м-цы А.

Ранг м-цы - это наивысший порядок минора м-цы отличный от нуля. (Минор м-цы – то опред-ль квадр.подм-цы). r(А) = n

Ранг м-цы равен максимал.числу лин.независ.ст-к или ст-в м-цы.

Эл.преобраз.:1)отбрас.нулевой строки или ст-ца. 2)Трансп.м-цы, 3)Сложение(или вычит.)эл-тов какой-либо строки или ст-ца с соотв.эл-ми др.стр.(ст.), умноженными на какое-то(любое)число., 4)Смена местами стр-к или ст-в м-цы с сохран.порядка след.эл-тов в них.

ТЕОР.Ранг м-цы не меняется при эл.преобраз.

Опр:М-ца наз-ся ступенчатой,если под эл-ми гл.диагонали такой м-цы только нул.эл-ты или эл-тов вообще нет. Замечание:Элементарн.преобразованиями любая м-ца приводится к ступенчатой. В такой ступенчатой матрице ранг это число строк в ней. Это число совп.с рангом исх.м-цы,т.к.при элементар.преобр.ранг не меняется.

*2 ( 2 -4 1 5 3)<\

| ( 0 -1 3 0 2) |

+ (-4 5 7 -10 0) | ~

(-2 1 8 -5 3)</

(2 -4 1 5 3) (2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)*3 (0 -1 3 0 2)

~ (0 -3 9 0 6) - ~ (0 0 0 0 0)

(0 -3 9 0 6) - (0 0 0 0 0)

(2 -4 1 5 3)

(0 -1 3 0 2)

~ (0 0 0 0 0) > r(A)=2,т.к.

(0 0 0 0 0) 2 строки в ступенч.м-це.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы А_mxn

l₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄,..,a_1n) – 1-я строка; l2=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄,..,a_2n) – 2-я строка.

l_m=(a_m,a_m2,a_m3,a_m4,..,a_mn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ _{1 *} k₁+ λ ₂k₂+… + λ _m-1k_{m -1}+ λ _mk_m , где все λ -это числа.

Опред.:строки l₁,l₂,..,l_m – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ ₁=0, λ ₂=0, λ ₃=0,.. λ _m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l₁,l₂,l₃,..l_m-1,l_m – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ ₁, λ ₂, λ _m ≠0.

ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

|a₁₁ a₁₂ ... a_1r|

|a₂₁ a₂₂ ... a_2r|

∆= |... | ≠0.

|a_r1 a_r2 ... a_rr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

e_r=λ₁e₁+λ₂e₂+...+λ_r-1e_r-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ₁, эл-ты 2-й строки, умноженные на λ₂, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λ_r-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.