8. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместных систем линейных уравнений.
Теорема: Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.
Если ранг системы равен числу неизвестных r=n, то система имеет ед. решение и явл. определенной. Если ранг системы меньше числа неизвестных r<n, то система явл. неопределенной и имеет бесконечное множество рашений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
Неизвестные, соответствующие столбцам, на которых расположены начала ступенек, называют базисными, а остальные неизвестные – свободными.
Вернёмся от расширенной матрицы к системе уравнений. Свободные неизвестные обозначим произвольными буквами, например С1, С2, это означает, что им позволяется принимать любые значения. Получится система относительно базисных неизвестных. Решая её, получаем выражения базисных неизвестных через С1, С2… Решение, в котором все С1, С2… равны нулю, называются базисными.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.
Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:
Матричный вид однородной системы: Ax=0.
Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:
x1=0 , x2=0 , ..., xn=0.
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
Теорема 7. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r (A)<n
Система линейно независимых решений е1, е2, …еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений е1, е2, …еk
Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений.
Общее решение системы линейных однородных уравнений имеет вид
c1e1+c2e2+…+ckek
где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений; с1, с2, …, сk – произвольные числа; k=n-r
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы. Геом.вектор. Вектор АВ-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р. Длина в-ров |АВ|= кв.корень х2+у2 В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0. Вектором,противоп-м в-ру а->,наз-ся произвед.в-ра а->на ч-ло (-1),т.е. - а->=(-1)а->. Координатами в-ра а-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z). В-р а-> = (x;y;z) мож.б.записан в виде а-> = хi-> +yj->+zk->. i->,j->,k-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi->,уj->,zk-> - компоненты в-ра. Операции над в-ми: 1) Суммой двух в-ров а-> и b-> наз-ся в-р с->=а->+ b->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а->, а конец – с концом в-ра b->при усл.,что нач.в-ра b-> совп.с концом в-ра а->. Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а->и b-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра. 2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а-> на ч-ло У наз-ся в-р b->=Уа->,имеющий длину |b->|=|У||а->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а->, если У<0.) Если b->= а->Y,то а->|| b->. И наоб.,если а->|| b->( а->не=0),то b->= а->Y. 3) Разностью 2-х в-ров а->и b-> наз-ся сумма в-ра а-> и в-ра -b->,противоположного b->. ||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а-> * b-> *cosф, где ф-угол между в-рами а-> и b->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0. ||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х1,х2,..,хn),где числа х1,х2,х3,..хn компоненты в-ра. Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если хi=уj, i=1,2,…,n. Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.zi=xi+yi,i=1,2,...,n. Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. ui = Yxi, i=1,2,...,n. Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х. Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам. n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов. Вектор аm наз-ся линейной комб-ей в-ров а1,а2,..,аm в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y1a1+ Y2a2+ ...+Ym-1am-1, где Y1,Y2,...,Ym-1 – какие угодно действит.ч-ла. Опр.:В-ры а1,а2,…,аm в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y1a1+Y2a2+...+ Ymam=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ. Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R.