8. Функция комплексного переменного.

Функция комплексной переменной – это правило, которому каждому комплексному значению независимой переменной z (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции w.

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде: , где – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции w.

Функция называется мнимой частью функции w.

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций.

9. Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Предположим, что существует последовательность комплексных чисел

О: Число можно назвать пределом z_n при беспредельном возрастании при условии, что для всякого имеется номерN(ε), что дляn>=Nвыполняется неравенство .

Т: С целью, чтобы необходимо и достаточно осуществление

О: Под числом a понимается предел f(x) при , если для всякого ε>0 имеется , что из неравенства следует неравенство .

Т: Необходимые и достаточные условия для существования:

при том, что

О: Непрерывной функцию w=f(z) в т.z₀ можно назвать при условии, что: f(z) определена в т. z₀ и ее окрестности; В соответствии с выше обозначеной теоремой можно заключить, что последнее равенство является эквивалентным двум равенствам z₀ равна непрерывности ее действительной и мнимой частей z₀.

10. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции. Условие Коши-Римана

Производная функции

Функция f(z) определенная в некоторой окрестности точки называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел

называемый производной функции f(z) в точке z₀.

Справедливы следующие свойства:

Пусть функции f(z) п g(z) дифференцируемы, а С произвольная постоянная, тогда

Аналитическая функция — функция комплексного переменного , для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичность, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)

Условие Коши Римана

Пусть и функция определена в некоторой

окрестности точки . Функция дифференцируема в точке z₀ тогда и только тогда, когда

1. дифференцируемы как функции двух переменных в точке (х_о,у_о);

2. выполняются условия Коши-Римана

11. Геометрический смысл ФКП

12. Понятие комфортного отображения

13. Элементарные функции комплексного переменного: e^z, sin z, cos z

14. Степенная функция

Как и в случае вещественной переменной, определим сначала степенную функцию целой сте­пени. Ниже мы покажем, как определить произвольную степень, используя логарифм и показа тельную функцию.

Определение 1. Произведение числа z на себя раз называется п ой степенью числа z

и обозначается

Свойство 1 Функция определена и непрерывна на комплексной плоскости,.

Свойство 2. Для любых справедливо

Отметим, что отображение не является инъективным. Действительно, точки и имеют одинаковые образы под действием если и Однако,

отображение является однолистным в секторах