20. Интеграл

21. Теорема Коши

22. Теорема Коши для многосвязной функции.

Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L₀ (внешняя граница), L₁, L₂, …, L_k, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области D, проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L₀ и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур L₀ разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.

В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.

20. Интеграл от аналитической функции. Первообразная.

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Если функция w = f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл по кривой зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z₀, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать .

Теорема. Для любой аналитической в области D функции f(z) интеграл является аналитической в D функцией, и F’(z) = f(z).

Любая функция Ф(z) такая, что Ф’(z) = f(z), называется первообразной функции f(z). Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому , откуда при z = z₀ получаем C = Ф(z₀), или . Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования, например: .

20. Интегральная теорема Коши. Производная n-го порядка от аналитической функции.

Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: .

Доказательство. Так как , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w=f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.