55. Ортогональные (унитарные матрицы).

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на А^T равен единичной матрице:

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

56.Определение и примеры линейного оператора.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

Примеры:1. Оператор тождественного преобразования.Оператор тождественного преобразования переводит любой вектор сам в себя. Другими словами, он возвращает тот же самый вектор, который принял, ничего с ним не делая. Оператор тождественного преобразования обозначается буквой I, следовательно: , и . Отсюда находим матрицу тождественного преобразования. .

2. Обратный оператор.Если – произвольный оператор, и если существует такой оператор , что , то называется обратным оператором. Обратный оператор имеет обратную матрицу: . Не каждый оператор имеет обратный, а только тот, который осуществляет взаимно однозначное преобразование.

3. Оператор растяжения.Представим, что геометрическое пространство построено из эластичного материала. Растянем его в направлении оси x так, чтобы каждый отрезок, расположенный вдоль этой оси растянулся бы в λ раз. В этом случае x координата каждого вектора увеличится в λ раз, в то же время остальные его координаты останутся без изменения. ; ; .Мы не вводим специального обозначения для этого оператора. .Теперь, если мы растянем наше пространство по направлениям всех трех осей, то получим оператор трехосного растяжения: , где – коэффициенты растяжения вдоль соответствующих осей.

4. Оператор сдвига

Представим, что все пространство заполнено тонкими листами бумаги, аккуратно сложенными в одну стопку . Сдвинем листы на одну и ту же величину относительно друг друга в направлении оси y. Если считать лисы бумаги очень тонкими слоями геометрического пространства, то векторы, находящиеся в этом пространстве и с ним связанные также сдвинутся. Координаты векторов параллельных плоскости xoy, как лежащие в сдвигаемых слоях, не изменятся. Зато концы вектора перпендикулярного плоскости xoy сдвинутся один относительно другого в направлении оси y на величину пропорциональную длине вектора. Общее выражение для такого преобразования в векторной форме можно записать так: . Воздействие этого преобразования на векторы базиса можно записать следующим образом:

; ;

.Отсюда получаем матрицу линейного преобразования сдвига: .Аналогично получаем матрицу оператора сдвига в направлении оси y параллельно плоскости yoz. ;

;

.

.

Матрицы сдвигов относительно других осей получаются точно так же.

5. Оператор поворота относительно координатной оси. Если в предыдущих случаях для вычисления матриц операторов мы могли использовать произвольную систему координат, то для вычисления матрицы оператора поворота без декартовой системы координат обойтись очень трудно. Пусть является оператором поворота относительно оси x декартовой системы координат xyz, причем поворот осуществляется по направлению от оси y к z оси. Найдем координаты векторов базиса, подвергнутых действию этого оператора, на рис. они обозначены и .

  Рис.

, , .И, следовательно, Аналогично можно доказать, что , .