1.2.1 Модуляція гармонічних сигналів

На практиці при передачі інформації найчастіше застосовуються сигнали, які формуються із застосуванням модуляції гармонічних коливань. Змінний струм або напруга виступають в такому випадку переносником інформації, а параметрами, що змінюються в даному випаду виступають амплітуда, фаза або частота. Класифікація модуляції гармонічних сигналів була розглянута в п. 1.1.

Виконання гармонічної модуляції забезпечує виконання наступних цілей:

а) узгодження спектру сигналу, що передається із частотною характеристикою каналу зв’язку;

б) розподіл спектрів декількох сигналів за необхідності одночасної передачі декількох інформаційних сигналів з перехресними спектрами однією лінією зв’язку.

Процес модуляції, за якого у якості інформаційного носія виступає гармонічне коливання, призводить до переносу спектру інформаційного сигналу з області низьких частот до області частот, що знаходиться близько до частоти несучої, це також необхідно враховувати, якщо існують обмеження області частот каналу зв’язку.

Розглянемо кожен вид гармонічної модуляції докладніше.

Амплітудна модуляція. Основою цього виду модуляції є те, що амплітуда несучих коливань змінюється в функції модулюючого повідомлення за законом, відображеним формулою

,

де – коефіцієнт амплітудної модуляції, тобто відношення найбільшого приросту амплітуди несучого коливання до амплітуди не модульованої несучої ;

– модулююча функція у відносних одиницях .

Нехай, немодульоване несуче коливання, що використовується для передачі вимірювальної інформації має вигляд

, (1.1)

де та – кутова частота та початкова фаза несучого коливання відповідно,

тоді, з урахуванням закону зміни амплітуди несучих коливань, рівняння (1.1) набуває вигляду

.

Вочевидь, що при АМ обвідна амплітуда несучої частоти має повторювати форму модулюючої функції без спотворень при .

На рис. 1.8 проілюстровано характер зміни амплітуди несучого коливання, що викликаний впливом моделюючої функції .

Рисунок 1.8 – Часові діаграми сигналів за амплітудної модуляції

При АМ інформаційного носія гармонічним сигналом спектр АМ сигналу міститиме компоненти несучого коливання та двох бічних частот та , та не міститиме спектральної складової з частотою модулюючої функції. Спектр АМ сигналу, ширина якого вдвічі більша за ширину спектру модулюючої функції та становить , симетричний відносно частоти , амплітуди бічних частот дорівнюють . Потужність АМ сигналу рівна сумі значень потужностей спектральних складових. Однак, складова з частотою не несе в собі інформацію про модулюючу функцію, а отже недоцільно витрачати потужність передавача на її передачу каналом зв’язку. Задля усунення такого недоліку, використовується такий різновид АМ, як балансна амплітудна модуляція (БАМ), яка передбачає передачу АМ без несучої частоти. АМ для цього різновиду

.

Якщо , то

.

Використання такого різновиду АМ як односмугова, за якої передається тільки одна бічна смуга, а інша придушується, стає можливим завдяки властивості симетрії спектру АМ сигналу. В такому випадку вдвічі звужується ширина спектру корисного сигналу, але це призводить до апаратної надлишковості.

На практиці АМ може бути здійснена у лінійному колі зі змінними параметрами або ж в нелінійному колі. Амплітудний модулятор має являти собою аналоговий перемножуючий пристрій, який, в загальному випадку, здійснює множення двох функцій: та .

Основною метою модуляції при передаванні вимірювальної інформації є перенесення інформаційного повідомлення на відстань без викривлення його змісту. Модуляція гармонічного коливання є операцією на передавальному кінці ІВС, яка передбачає демодуляцію АМ сигналу після його передачі каналом зв’язку на приймальному кінці. Демодуляцію ще називають детектуванням, так як сенс її полягає в тому, щоб з отриманого високочастотного коливання виділити модулюючу функцію, яка міститься там у неявному вигляді і є, власне, інформаційним повідомленням. Таке виділення є оберненою до модуляції процедурою, в детекторі відбувається виділення середнього значення вихідної напруги, а високочастотні складові придушуються пізніше при проходженні сигналу через фільтр нижніх частот (ФНЧ).

Для неспотвореної демодуляції АМ сигналу функція перетворення детектора має бути кусково-лінійною зі зламом на нульовій частоті. Сигнал на виході детектора містить постійну складову, складову з частотою модулюючої функції , а також парні гармоніки несучої частоти та складові з гармоніками-супутниками . Відповідно до функції перетворення сигнал на виході детектора утворює послідовність однополярних імпульсів. Середнє значення цих імпульсів за формою повторює модулюючу функцію та виділяється за допомогою ФНЧ.

Кутова модуляція. Цей вид модуляції представлений двома різновидами: фазовою модуляцією та частотною модуляцією. Загальний характер ЧМ та ФМ визначається їх взаємозалежністю одне від одного, тобто при зміні фази змінюється частота сигналу і навпаки. Різниця між ними міститься в характері зміни у часі миттєвої фази за однієї й тієї ж самої модулюючої функції. При ФМ модулююча функція впливає на гармонічного коливання, при ЧМ – на частоту.

ФМ сигнал аналітично представляється у вигляді

,

де – девіація фази.

Так як , то являє собою максимальну зміну початкової фази в результаті ФМ. Відповідно до закону взаємного впливу, модуляція фази викликає модуляцію частоти.

Вважаючи, що миттєва фаза описується виразом

.

Отримаємо ФМ сигнал у вигляді .

Миттєва частота сигналу

.

Таким чином із зазначених виразів випливає, що модуляція фази за законом викликає модуляцію частоти за законом .

Миттєва частота сигналу при ЧМ становить

,

де – девіація частоти, що дорівнює максимальній зміні частоти при ЧМ.

Відповідно, миттєва фаза сигналу описується виразом

,

тоді ЧМ сигнал набуває вигляду

.

Таким чином, модуляція частоти за законом призводить до модуляції фази за законом . Такий взаємний зв'язок між ЧМ та ФМ дозволяє, наприклад, використовувати фазові модулятори для отримання ЧМ сигналів.

Найбільшого розповсюдження серед видів модуляції гармонічних коливань на практиці для передачі вимірювальної інформації в ІВС отримала ЧМ. Розглянемо принципи ЧМ докладніше.

Формально ЧМ можна визначити як вид модуляції гармонічного носія, за якого миттєва частота модульованої хвилі відрізняється від несучої на величину, пропорційну миттєвій амплітуді модулюючої хвилі. При цьому частота модуляції визначається кількістю разів в секунду, коли миттєва частота модульованої хвилі змінюється відносно номінальної частоти носія. Більш того, амплітуда модульованого сигналу залишається сталою на його немодульованому рівні.

Фактично, ЧМ означає, що частота несучого сигналу збільшується від її номінального значення із збільшенням амплітуди модулюючої функції або, навпаки зменшується в залежності від обраного способу вирішення задачі.

Припустимо, що синусоїдальний сигнал з частотою 1 кГц та піковим значенням амплітуди використовується для модуляції несучої хвилі частотою 500 кГц. Миттєва частота модульованого сигналу буде коливатися біля значення не модульованої несучої частоти 500 кГц тисячу разів в секунду. Рівень частоти коливання буде пропорційним значенню амплітуди модулюючого сигналу. Якщо припустити, що коливання частоти відбуваються на 500 Гц вище та 500 Гц нижче частоти не модульованого носія, миттєве значення частоти модульованого сигналу буде змінюватись від 499,5 кГц до 500,5 кГц.

Подвоєння частоти модулюючої напруги викликатиме подвоєння швидкості коливання несучої навколо не модульованого значення несучої. Подвоєння амплітуди модулюючої напруги призведе до подвоєння кількості коливань несучої частоти відносно несучої частоти.

Часові діаграми сигналу з ЧМ зображено на рис. 1.9.

Рисунок 1.9 – Часові діаграми сигналів за частотної модуляції

Математично частотно-модульовані сигнали можна представити наступним чином. Вираз для синусоїдальної хвилі амплітудою має вигляд

,

де – довжина згенерованих обертових векторів;

– зміщення вектору від його початкового значення на конкретний момент часу.

Якщо позначити час як та кутову швидкість обертання вектора як , то отримаємо графік генерації синусоїдальної хвилі, який зображено на рис. 1.10.

Рисунок 1.10 – Графічна ілюстрація генерації синусоїдальної хвилі

Миттєва кутова швидкість визначається як миттєва швидкість зміни значення кута. Математично вона визначається за формулою

.

Якщо частота залишається сталою, кутова швидкість також є постійною величиною та визначається із співвідношення , де має розмірність радіани в секунду, а частота вимірюється в герцах.

Тому кутове зміщення через часовий проміжок визначатиметься

.

Кутове зміщення також називається фазовим зсувом. Саме тому

.

Якщо частота буде змінюватися у часі, то змінюватиметься й кутова швидкість. Для визначення фазового зсуву необхідно провести інтегрування за часом. Таким чином отримаємо

.

Але, враховуючи, що можна стверджувати, що

. (1.2)

За частотної модуляції несучої хвилі , частота модульованої несучої хвилі змінюється відносно центральної частоти не величину, пропорційну миттєвій амплітуді модулюючого коливання . Миттєва частота частотно-модульованого несучого сигналу визначається наступним чином

,

де – коефіцієнт пропорційності.

Через те, що значення має завжди лежати в діапазоні від мінус одиниці до плюс одиниці, максимальне значення знаходитиметься у межах . Таким чином частоти частотно-модульованих хвиль будуть варіюватися в межах, визначених як . Пікове значення зміни несучої частоти вище та нижче її немодульованої центральної частоти відбувається в межах . Така зміна пікових значень визначається як девіація частоти .

Таким чином , та підставивши цей вираз в рівняння для миттєвої частоти частотно-модульованої несучої отримаємо

. (1.3)

Вираз для миттєвої напруги несучої має вигляд

, (1.4)

і так як для фазового кута справедливим є вираз (1.2), підставивши його в рівняння (1.3), отримаємо

.

Так як відношення , можна визначити наступним чином

,

де ;

а також або , де – значення фазового кута несучої в радіанах, та – фазове відхилення в радіанах.

Так само, об’єднавши вирази (1.4) та (1.2), можна отримати вираз для миттєвої напруги частотно-модульованого сигналу

.

Аналогічними перетвореннями отримаємо

Однак, оскільки , а також ,де – модульованого сигналу, отримаємо

.

Враховуючи, що індекс частотної модуляції , остаточний вираз для миттєвого значення напруги частотно-модульованих хвиль матиме вигляд

. (1.5)

Використання ЧМ для передачі вимірювальної інформації є гідною альтернативою передачі АМ сигналів, оскільки ЧМ сигнали є більш завадозахищеними, а також спектр ЧМ сигналу є ширшим за АМ. Розглянемо частотний спектр ЧМ хвилі докладніше.

Користуючись властивістю тригонометричних функцій, за якою , можна розширити рівняння (1.5) наступним чином

.

Подальші математичні перетворення, а саме використання закону Бесселя, дозволяє розбити два доданки, що містять модулюючу кутову частоту та на велику кількість членів високої частоти, таких як , , , , , і так далі. В інженерному плані це означає, що синусоїдальною хвилею, яка має частоту , буде промодульована синусоїдальна несуча хвиля, частотою , в результаті чого утворюється комплексний спектр цих хвиль. Утворений частотний спектр буде складатися з вихідної несучої частоти та рівномірно розподілених навколо центральної несучої бічних частот. Такі бічні частоти визначаються як , , , і т.д., тобто частоти бічних смуг кратні та розташовані по обидва боки від несучої частоти .

Рисунок 1.11 – Графік залежності зміни амплітуди несучої та бічних частот від зміни індексу частотної модуляції

Теоретично, кількість бічних частот в спектрі ЧМ сигналу є необмеженою, але амплітуда деяких із них настільки незначна, що ними можна знехтувати. Якщо побудувати графік залежності амплітуд різних бічних складових частотного спектру від індексу частотної модуляції, та, для порівняння, прийняти амплітуду несучої частоти рівною одиниці, отримаємо рис. 1.11.

З цього графіку можна зробити два висновки:

• за певних значень індексу частотної модуляції амплітуди несучої хвилі, або одна чи кілька бічних частот дорівнюють нулю;

• коли індекс частотної модуляції нижчий за 0,5, кількість корисних бічних частот дорівнює двом, а отже, можна зробити висновок, що за малих значень індексу частотної модуляції пропускна здатність ЧМ сигналу практично не відрізняється від пропускної здатності АМ.

Справді, переваги частотної модуляції виявляються при значеннях індексу ЧМ, більшого за п’ять.

Рис. 1.11 може бути використаний для визначення частотного спектру ЧМ сигналу для різних значень індексу модуляції. Частотний спектр сигналу за значення індексу частотної модуляції, що дорівнює чотири, зображено на рис. 1.12.

Рисунок 1.12 – Частотний спектр частотно-модульованого сигналу за значення індексу модуляції, що дорівнює чотири

Масштаб напруги на графіку, зображеному на рис. 1.12, обрано пропорційно до амплітуди не модульованого носія. Для того, щоб уникнути викривлень інформації при її передаванні за допомогою ЧМ хвиль, необхідно передавати і несуче коливання, і всі бічні частоти. Тим не менш, задля обмеження пропускної здатності, необхідної для передачі інформації, може бути використана наступна емпірична формула для розрахунку зниження пропускної здатності , яка дає вдалі практичні результати у герцах

.

Це рівняння може бути перевірене шляхом його застосування до випадку, зображеного на рис. 1.12. Наприклад, індекс частотної модуляції чотири отримаємо зі значень та . Використовуючи формулу, розрахуємо значення пропускної здатності, необхідної для вдалої передачі даних без викривлень

.

Можна побачити з рис. 1.12, що за індексу частотної модуляції чотири останньою розрізнюванню парою бічних гармонік є шоста. Тому, пропускна здатність, необхідна для охоплення смуги між шостими бічними частотами становить . Звідки видно, що це значення співпадає зі значенням, розрахованим за емпіричною формулою.

Якщо модулююча частота являє собою не окрему синусоїду, а складний сигнал, то емпірична формула може бути застосована для розрахунку пропускної здатності за умови, що у якості буде обране найбільше значення зі складного сигналу.