Частотные критерии устойчивости

В основе лежит принцип аргумента.

(1)

Изменение при изменении равняется следующей сумме

Если лежит в левой полуплоскости, то

Если лежит в правой полуплоскости, то

Пусть уравнение (1) содержит правых и левых корней, тогда

Критерий Михайлова

Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни лежали в левой полуплоскости.

(2)

Выделим действительную и мнимую части.

(2’)

- четное.

- нечетное.

– комплексно сопряженные.

(3)

С учетом уравнений (2),(3) перепишем

, где n – порядок характеристического уравнения.

При изменении и описывают кривую, которая называется годографом Михайлова.

Система устойчива, если годограф Михайлова начинается на действительной оси и с ростом частоты проходит последовательно в положительном направлении квадрантов, где – степень характеристического уравнения.

Годографы устойчивой системы

Неустойчивые системы

Система будет на границе устойчивости, если годограф Михайлова пройдет через начало координат.

Устойчивая система

Неустойчивая система

Чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо чтобы корни уравнений и чередовались между собой.

Если и корни , чередуются между собой, система является устойчивой.

Пример:

Определить устойчивость замкнутой систем, найти , используя критерий Михайлова.

Пусть

	0	0,86	1,8
	39	30	0
	0	0	-36

Система находится на границе устойчивости.

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутых систем по АФХ разомкнутых систем.

Если ПФ разомкнутой системы

, где m и n – степени полиномов.

ПФ замкнутой системы

- разомкнутая

- замкнутая

(1)

(2)

• Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива при устойчивой разомкнутой САУ, которая определена выражением (2) , необходимо, чтобы АФХ разомкнутой САУ не охватывала точку (-1;j0).

• Если разомкнутая САУ на границе устойчивости

При

- малая величина

При

Замкнутая система будет устойчивой, если ее АФХ при не охватывает точку (-1;j0).

• Разомкнутая система неустойчива, это значит, что уравнение имеет n правых и m левых корней.

Если хотим, чтобы в замкнутом состоянии система была устойчивой, то уравнение должно содержать n левых корней.

Если разомкнутая система неустойчива, замкнутая система будет устойчивой, если АФХ разомкнутой системы с ростом частоты в положительном направлении охватывает точку (-1;j0) раз. Где m - число правых корней уравнения .

При неустойчивой разомкнутой системе замкнутая устойчива, если разность между числом положительных переходов и числом отрицательных переходов через отрезок равняется .

Если разомкнутая система устойчива, то и соответственно .