Решение:

В качестве события выступает неисправность какого-то элемента. Вероятность p⁽ⁱ⁾(t) исправности i-го элемента в течение времени t определяется формулой

(2),

т.е. , , ,

где λ₁ = 1/t₁ = 1/20 = 0,05[час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/50 = 0,02[час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/40 = 0,025[час^-1].

Вероятности исправности элементов по истечении времени t_отк = 18 часа будут равны соответственно

, , ,

Вероятность того, что за время T i-й элемент выйдет из строя, является противоположной вероятностью p⁽ⁱ⁾(T) :

= 1− p⁽¹⁾ (T) ≈ 1− 0,4066 = 0,5934,

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,6977 = 0,3023.

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,6376 = 0,3624.

Учитывая, что элементы работают независимо друг от друга, найдём вероятность того, что в интервале времени [0, 18] откажут

а) только один элемент;

.

9А. Испытывают три элемента, работающих независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t₁, t₂, t₃ [час]. Найти вероятность того, что в интервале времени [0, t_отк] откажут:

а) только один элемент;

9. t₁ = 8; t₂ = 4; t₃ = 5; t_отк = 3.

Решение:

В качестве события выступает неисправность какого-то элемента. Вероятность p⁽ⁱ⁾(t) исправности i-го элемента в течение времени t определяется формулой

(2),

т.е. , , ,

где λ₁ = 1/t₁ = 1/8 = 0,125[час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/4 = 0,25[час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/5 = 0,2[час^-1].

Вероятности исправности элементов по истечении времени t_отк = 3 часа будут равны соответственно

, , ,

Вероятность того, что за время T i-й элемент выйдет из строя, является противоположной вероятностью p⁽ⁱ⁾(T) :

= 1− p⁽¹⁾ (T) ≈ 1− 0,6873 = 0,3127,

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,4724 = 0,5276.

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,5488 = 0,4512.

Учитывая, что элементы работают независимо друг от друга, найдём вероятность того, что в интервале времени [0, 3] откажут:

а) только один элемент;

.

8В. Испытывают три элемента, работающих независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t₁, t₂, t₃ [час]. Найти вероятность того, что в интервале времени [0, t_отк] откажут:

в) все три элемента;

8. t₁ = 20; t₂ = 8; t₃ = 10; t_отк = 6.

Решение:

В качестве события выступает неисправность какого-то элемента. Вероятность p⁽ⁱ⁾(t) исправности i-го элемента в течение времени t определяется формулой

(2),

т.е. , , ,

где λ₁ = 1/t₁ = 1/20 = 0,05 [час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/8 = 0,125 [час^-1],

λ₂ = 1/t₂ = 1/10 = 0,1 [час^-1].

Вероятности исправности элементов по истечении времени t_отк = 6 часа будут равны соответственно

, , ,

Вероятность того, что за время T i-й элемент выйдет из строя, является противоположной вероятностью p⁽ⁱ⁾(T) :

= 1− p⁽¹⁾ (T) ≈ 1− 0,7408 = 0,2592,

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,4724 = 0,5276.

= 1− p⁽²⁾ (T) ≈ 1− 0,5488 = 0,4512.

Учитывая, что элементы работают независимо друг от друга, найдём вероятность того, что в интервале времени [0, 5] откажут не более 2-х элементов, используя противоположную вероятность:

.

7A. Испытывают три элемента, работающих независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t₁, t₂, t₃ [час]. Найти вероятность того, что в интервале времени [0, t_отк] откажут:

а) только один элемент;

7. t1 = 10; t2 = 20; t3 = 25; tотк = 15.