4. Определение производной. Необходимое условие дифференцирования.

Необходимое усл дифференцируемости. Дифференциал. Опр1: Производной ф-ции f(x) в х называется величина f ’(x)=lim[Δx→0](f(x+Δx)-f(x)/Δx) =

Lim[ Δx→0]Δf/Δx, если предел сущ. и конеч. Опр2:ф-ция f(x) называется дифференц в х, если справедлива ф-ма:

f(x+Δx)-f(x) =АΔx+о(Δx)

(f(x+Δx)-f(x))/Δx = А + о(Δx)/Δx→0, т.е. А=f’(x)

Теорема: если f(x) дифференц в x, то она непр в этой точке.

Док-во:f(x+Δx)=f(x)+AΔx+o(Δx)⇒lim[Δx→0]f(x+Δx)=f(x) ч.т.д.

Дифференциал f(x+Δx)-f(x)=f’(x)Δx+o(Δx)

Δf=f’(x)Δx+o(Δx).пусть Δх-очень мало, тогда заменим Δх на dx-бесконеч малое приращ,

а Δy на dy, o(Δx) отбросим.

dy=y’.tdt=y’.xdt,y’.x=y’.t/x’.t=dy/dx

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Геометрический и физ смысл производной

1) V.мгн = lim[△t→0]((x(t+△t) – x(t))/ △t)=x`(t)

a=V`(t)=x``(t)

2) y=f(x.1)+ (f(x.2) – f(x.1))/(x.2-x.1)*(x-x.0)

x.2 → x.1 ⇒△x→0 : (f(x.2) – f(x.1))/(x.2-x.1) →f `(x.1)

y=f(x.1)+f `(x.1)(x-x.1) –ур-е касат

условие ⊥ k.1*k.2=-1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6 Арифметические св-ва пр-ой.

Теорема: Пусть f(x) и g(x) дифференц в х, тогда: (f+g)’=f’+g’

(f-g)’=f’-g’;(fg)’=f’g+g’f;(f/g)’=(f’g-g’f)/g^2, g≠0

Док-во: 1)Δ(f+g)/Δx=Δf/Δx+Δg/Δx=f’+g’

2)Δ(f-g)/Δx=Δf/Δx-Δg/Δx=f’-g’

3)Δ(fg)/Δx=(f(x+Δx)g(x+Δx)-fg)/Δx=

(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x+Δx)g(x)+f(x+Δx)g(x)-fg)/Δx=

(f(xΔx)Δg)/Δx+gΔf/Δx→fg’+gf’

4)Δ(f/g)/Δx=(f(x+Δx)/(g(x+Δx))-f/g)/Δx=

f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx)-fg+fg/(g(x+Δx)g(x)Δx)=

(1/Δxg(x+Δx)g(x))*(gΔf/Δx-fΔg/Δx)→f’g-g’f/g^2 ч.т.д.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функции

Теорема. Пусть y=f(x) z=g(y) ⇒z=g(f(x)). f(x) дифференцируема в x, а g(y)

дифференцируема в y. Тогда z=g(f(x)) дифференцируема в x, причем z`(x)=g`(y)*f `(x)

Док-во: Согласно определению дифференциала

△f = f `(x)△x + α(△x), △g=g`(y)+△y+β(△y).

△g=g`(y)(f `(x)△x+ α(△x)/ △x) + β(△y)/ △y * (f `(x)*△x + α(△x))=

g`(y)f `(x) △x + α(△x)/ △x * g`(y) +β(△y)/ △y * (f `(x)*△x + α(△x))=g`(y)f `(x)△x

α(△x)/ △x * g`(y) + β(△y)/ △y (f `(x)△x + α(△x)) →0

\ →0 / \ →0 /

⇒z`(x)=g`(y) f `(x) ч.т.д

Производная обратной функции

y=f(x), x=g(y)=g(f(x)) (x)` = (g(f(x)))` , 1=g`(f(x))*f `(x)

y`.x * x`.y = 1 , g`(y) = 1/f `(x)

Параметрически заданная функция

{ x=φ (t) y=ψ(t)}, y=y(x(t)) ; y`.t = y`.x*x`.t

⇒ y`.x= y`.t/x`.t

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8 Старшие производные для элементарных функций

(sinx)^n=sin(x+пn/2); (cosx)^n=cos(x+пn/2);

(e^x)^n=e^x;(a^x)^n=a^xln^na;

(x^a)^n= a(a-1)(a-2)…(a-n+1)x^(a-n);

(x^n)^n=n!; (x^n)^(n+1)=0;

(lnx)^n=[(-1)^(n-1)(n-1)!]/x^n

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------