13. Доказательство правила Лопиталя для неопределенности 0/0 в конечной и бесконечной точках.

Теорема 1. Пусть f(x) и g(x) дифференцируема в окрестностях точки а, f(x) →0, g(x) →0, x→a.

Пусть существует lim[x→a] f(x)/g(x) = lim[x→a] f `(x)/g`(x)

Док-во: По условию теоремы f(a)=0 и g(a)=0. Тогда по формуле конечных приращений Коши

f(x)/g(x) = (f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)) = f `(c)/g`(c) c∈(a,x)

При x→a, c→a ⇒ f `(c)/g`(c) →lim[x→a] f `(c)/g`(c) = b ⇒ f(x)/g(x)→b ч.т.д.

Теорема 2. Пусть f(x) →0 и g(x) →0 при x→+∞(-∞). f(x) и g(x) дифференцируема и сущ lim[x→+∞] f(x)/g(x).

Тогда lim[x→+∞] f(x)/g(x)= lim[x→+∞] f `(x)/g`(x).

Док-во: Сделаем замену x=1/t t→+0. Обозначим φ(t) = f(x) = f (1/t); ψ(t)=g(x)=g(1/t). φ(0) = ψ(0) = 0

φ`(t)/ ψ`(t) = [f `(1/t) (1/t^2)] /[g`(1/t)(1/t^2)] = f `(x)/g`(x)

⇒по теореме 1 сущ lim[t→0] φ(t)/ψ(t) = lim[t→0] φ`(t)/ψ`(t) = lim[t→0] f `(t)/g`(t) ч.т.д.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14 Вывод ф-мы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема:пустьf(x),f^1(x),…,f^n(x) непрерывна в некоторой окрестности точки а.

тогда справедлива ф-ма: f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+(f’’(a)*(x-a)^2)/2!+…+(f^n(a)*(x-a)^n)/n!+0((x-a)^n)

f(x)= Σ[n,k=0](f^k(a)*(x-a)^k)/k!+0((x-a)^k)=P.n(x)+R.n(x)

Док-во:

Lim[x→a](f(x)-P.n(x))/(x-a)^n=

P.n(a)=f(a)+f’(a)(a-a)+…=f(a)

=0/0=lim[x→a](f’(x)-P’.n(x))/n(x-a)^(n-1)=

P’.n(a)=f’(a)+f’’(a)(a-a)+(f’’’(a)(a-a)^2)/2!+…=0

=0/0=lim[x→a](f’’(x)-P’’.n(x))/(n(n-1)(x-a)^(n-2))=…=lim[x→a](f^n(x)-P^n.n(x)/n!=0

Т.к.P^n.n(a)=f^n(a)

⇒f(x)-P.n(x)=0((x-a)^n) ч.т.д.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций.

1)e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!+о(x^n). e^x=Σ[n,k=0]x^k/k!+о(x^n).

2)sinx=x-x^3/3!+….+((-1)^n)*(x^2n+1)/(2n+1)!+о(x^2n+1).

sinx=Σ[n,k=0][(((-1)^k)*x^2k+1)/(2k+1)!]+о(x^2n+1)

3)cosx=1-x^2/2!+…+((-1)^n)*x^2n/(2n)!+о(x^2n+1). Cosx=Σ[n,k=0]((-1)^k)*x^2k)/(2k)!+о(x^2n+1)

4)ln(1+x)=x-x^2/2+…+((-1)^n+1)*x^n/n+о(x^n). lnx=Σ[n,k=1]((-1)^k+1)*x^k/k+о(x^n)

5)(1+x)^α=1+αx+(α(α-1)/α^2)*x^2+…+(α(α-1)…(α-n+1)/n!)*x^n+о(x^n)

(1+x)^α=Σ[n,k=1]((α(α-1)…(α-k+1)/k!)*x^k+о(x^n)

6)shx=Σ[n,k=0][ x^2k+1/(2k+1)!]+о(x^2n+2)

7)chx=Σ[n,k=0][ x^2k/(2k)!]+о(x^2n+1)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. Участки монотонности и локальные экстремумы функции.

Теорема 1:Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b).

Пусть f `(x)=0 при x∈(a,b).Тогда f(x)=const.

Док-во: по теореме Лагранжа : [(f(b)-f(a))/(b-a)]= f `(0) =0 => f(b)=f(a)

Ч.т.д.

Теорема 2: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) и f’(x)>0.

Тогда f(x) строго монотонно возрастает.

Док-во:∀.(x.1,x.2∈[a,b]) , [(f(x.2)-f(x.1))/(x.2-x.1)]=f’(c) , f’(c)∈[x.1,x.2]. f’(c)>0

Поэтому, если (x.2-x.1)>0 , то [f(x.2)-f(x.1)>0] . Ч.т.д.

Определение: x=a является точкой локального max/min функции y=f(x),

Если ∃.(σ>0) ∀.(x: 0<|x-a|<σ) , [F(x)≥F(a)/F(x)≤F(a)].

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------