II. Нелинейные статические модели

Если в уравнении (2.4) вместо линейных связей на переменные модели наложим нелинейные связи

(2. 8)

Модель (2.8) - это нелинейная статическая модель с конечным числом ограничений.

Среди нелинейных статических моделей, используемых в экономика - математическом моделировании, наиболее важную роль играют модели для которых множество допустимых значений Х является выпуклым множеством х и этому множеству принадлежит весь отрезок где, изменяется от нуля до единицы.

Условия выпуклости:

g (ах* + (1 - а) х**) ( аg (х) + (1 - а) g(х**) (2. 9)

Как в линейных, так и нелинейных статических экономических моделях множество Х обычно содержит больше чем один допустимый вектор, т.е. имеется некоторая свобода выбора. Это позволяет ввести понятие внешнего воздействия (управления), определяющего судьбу моделируемой системы.

В системе (2. 3 ) часть неравенств объединяются в равенство типа ( 2. 1), разрешив эту систему равенств, часть переменных можно выразить через другие, т. е. представить модель (2.3) в виде

(2. 10).

где А и - матрицы, ъ - вектор.

Тогда управляемыми будут переменные, вошедшие в вектор х*, а переменные из вектора х** будут определятся внутри модели. Представление модели (2. 3.) или (2.5) в виде (2. 10) позволяет ввести понятия экзогенных и эндогенных переменных. Экзогенными (т.е. приходящими из вне) называются переменные, которые задаются вне изучаемой модели. К эндогенными (т.е. имеющим внутреннее происхождение) относят переменные, вычисляемые внутри модели.

В (2. 10) х* - экзогенные переменные, х** - эндогенные переменные.

III. Динамические модели.

В динамических моделях, описывающих функционирование изучаемых экономических систем во времени с самого начала выделяются экзогенные переменные (управления) и эндогенные переменные, характеризующие текущее состояние системы. Состояние изучаемой экономической системы в момент времени t описывается с помощью конечномерного вектора х (t) Еⁿ , а управление в тот же момент времени - с помощью конечномерного вектора u (t) Еⁿ. Динамические модели относятся к одному из двух классов - с непрерывным или дискретным временем.

В моделях с непрерывным временем изменение в состоянии системы описываются с помощью дифференциальных уравнений.

х = f ( х, u, t), ( 2.11)

где f ( х, u, t ) - некоторая заданная функция состояния и управления, которая также может зависеть от времени.

Относительно этой функции обычно предполагается, что

х ( t₀ ) = х₀ (2.12)

Помимо соотношений (2. 11) и (2. 12) в модели должны быть приведены ограничения на управление u (t). Эти ограничения записываются подобно ограничениям на переменные в статических моделях, т. е. множества допустимых уравнений U ( t):

u (t) U (t), t ( t₀, t₁), ( 2. 13)

Чем выше уровень развития народного хозяйства, тем больше имеется возможностей воздействия на его дальнейшее развитие. Поэтому ограничения на управление имеют вид:

u (t) U (x (t), t ), t (t₀, t ), (2. 14)

Такие ограничения называют ограничениями типа узких мест.

Помимо ограничений на управление в динамических моделях часто встречаются ограничения на возможные состояния системы. Эти ограничения в облике имеют вид:

х (t) x (t), t [ t₀, t₁], (2.15).

Часто различные ограничения на управления и переменные состояния записываются в виде одного соотношения. Для этого рассматривают (n + r) -мерный вектор (x (t),u (t)), состоящих из векторов х (t) и u (t) и (n + 2) - мерное множество допустимых векторов (х(t),u(t)), которое обозначим через Y(t). Соотношение имеет вид:

( х (t), u (t)) Y (t), Y (t), t [t₀, t₁], (2.16).

Как и в случае статических систем, наиболее простым частным случаем являются динамические системы, описываемые линейными соотношениями:

х = А₁ (t) x + A₂ (t) u (t) + a (t), (2. 17)

x (t₀) = x₀ (2. 18)

С₁ (t) x (t) + C₂ (t) u (t) b (t), (2. 19)

где А₁ (t) , А₂ (t), C₁ (t), C₂ (t) - заданные матрицы, элементы которых зависят от времени,. a(t) и b(t) - заданные векторы, также зависят от времени.

Уравнение (2.17) - линейное дифференциальное уравнение, описывающее изменение состояния системы, (2.19) - представление множества Y(t).

К линейным моделям близки по свойствам модели типа (2.17), (2.18) с ограничениями общего вида (2. 16) в том случае, когда множество Y(t) при каждом t выпукло.

Соотношения (2. 11), (2. 12), (2. 16 ) описывают развитие экономических систем недостаточно точно при присутствии в экономических системах запаздывании (или лагов) . Например, дополнительную продукцию получают только через некоторый период времени. Такие эффекты описываются на основе введения запаздывании в уравнение модели. Например, вместо уравнения (2.11)принимают уравнение:

х = f(x (t), u (t - , t), (2.20)

где запаздывание. Во многих случаях каждая координата вектора управлений имеет свое запаздывание и управление (2.20)принимает более громоздкий вид.

Рассмотрим многошаговые модели экономических систем, в которых время принимает дискретные значения.

В экономике многие явления имеют дискретный характер (например, выпуск машин).

Время в таких моделях принимает конечный ряд знаний. Обычно для удобства полагают t₀= 0, T = 1. В этом случае вместо уравнения (2.11) используют следующее уравнение:

x(t+1)=x(t)+f(х(t),u(t),t), t = 0, ...T-1 (2. 21)

т.е.[x(t),u(t)] Y( t ), t = 0, ... T - 1, (2. 22).

и ограничения на конечное состояние системы

x (T) = X (T), (2. 23)

соотношение (2.21) дает динамическое описание экономической системы. Как и в случае дифференциальных систем, наиболее просто выглядят линейные модели, в которых дифференциальное уравнение (2. 17) заменяется на многошаговое:

x(t+1)=x(t)+A₁(t)x(t)+A₂(t)u(t)+a(t), t=0, ... T - 1, (2.24).

Начальное условие (2.18) остается без изменений (t₀ = 0), ограничения (2.19) относятся только к дискретным моментам времени, и добавляется ограничение на конечное состояние (2.23) в котором множестве Х(t) должно быть многогранным.

Мы рассмотрели некоторые математические модели, наиболее часто встречающиеся в прикладных работах по математическому исследованию экономических процессов.

Процесс их построения осуществляется в следующей последовательности:

• устанавливают, какие переменные рассматриваются в модели (вещественные векторы, целочисленные переменные либо функции времени), т. е. описывается пространство переменных модели;

• формируют связи, накладываемые на переменные модели. Эти связи позволяют выделить среди всевозможных сочетаний переменных те, которые соответствуют нашим представлениям об изучаемой системе.

Модель в общем, виде можно представить как:

z Gi Z (2.25)

Z - пространство переменных,

z - переменные модели,

Gi - множество допустимых значений переменных.

Исследование математических моделей, в которых существует единственная точка z пространства Z, принадлежащая множеству Gi, состоит в нахождении этой точки и в изучении ее свойств. Если Z много, то необходима разработка специальных методов.