Додаток. Частинні похідні від

Частинна похідна по певній змінній знаходиться, як звичайна похідна від функції одної змінної, приймаючи, що усі інші змінні сталі. Покажемо це на прикладі густини залежності густини циліндра від його маси, висоти та діаметра

.

,

,

.

Контрольні питання

1. Охарактеризуйте похибки вимірів, їхні види та способи обчислення.

2. Наведіть стандарт обробки експериментальних даних при прямих вимірах.

3. Наведіть стандарт обробки експериментальних даних при непрямих вимірах.

4. Дайте визначення маси й густини речовини їх одиниці вимірювання.

5. Дайте визначення струму, сили струму, напруги, опору.

6. Складіть систему рівнянь, що визначають сталі а та b, при застосуванні найменших квадратів для лінійної залежності y=a+bx.

Робота № 1.2 Дослідження закону збереження імпульсу й визначення коефіцієнта відновлення енергії

Мета роботи

1. виміряти кути відхилення кульок до і після пружного та не пружного ударів,

2. розрахувати швидкості кульок через кути відхилення кульок,

3. розрахувати коефіцієнт відновлення енергії та імпульси кульок до і після удару,

4. порівняти довірчі інтервали імпульсів до і після удару і зробити висновки щодо виконання закону збереження імпульсу у пружному та не пружному ударах.

Прилади та обладнання.

Дві кулі на підвісі з масами m₁ та m₂, причому розглядається випадок коли ; балістичний динамометр з лінійкою вимірювання кута відхилення підвісу.

Коротка теорія.

Центральний удар двох куль детально розглянуто в п.2.10. Модуля 1. Існують два граничних випадки удару: абсолютно пружний і абсолютно не пружний. Якщо в результаті удару механічна енергія не переходить в інші види енергії, то удар вважається абсолютно пружним. При такому ударі кінетична енергія Е_k переходить ( цілком чи частково) у потенційну енергію пружної деформації W. Через якийсь час, відштовхуючись одне від другого, тіла здобувають первісну форму. При цьому потенційна енергія пружної деформації W переходить у кінетичну енергію Е_1k й тіла розлітаються зі швидкостями, значення й напрямок яких визначаються умовами збереження повної механічної енергії і повного імпульсу. Такий процес називається відновленням енергії, а відношення k=Е_1k /E_k - коефіцієнтом відновленням енергії.

При абсолютно не пружному ударі відбувається пластична деформація куль і кінетична енергія Е_k частково чи цілком перетворюється у внутрішню енергію E_в та кінетичну енергію куль Е_1k. Закон збереження механічної енергії при цьому не виконується, а виконується тільки закон збереження імпульсу. По анології з пружним ударом відношення k=Е_1k/E_k також називається коефіцієнтом відновлення енергії.

Для пружного удару швидкості після удару стануть такими

. (1)

. (2)

У розв’язках  маси, швидкості куль до удару.

Для непружного удару швидкість обох тіл після удару стане такою

. (3)

Лабораторна установка складається з двох, підвішених на нерозтяжних нитках куль, так, що у вихідному положенні їх центри лежать на одній горизонтальній прямій і вони дотикаються поверхнями на рівні центрів(див.Мал.1а). Зіткнення між ними відбувається в положенні, що відповідає положенню рівноваги. Тому швидкості, що входять у рівності (1-3), можна визначити по висоті h, із якої кулі опускаються чи на яку вони піднімаються після удару або через кути відхилення підвісів та довжини підвісу..

Дійсно, відповідно до закону збереження енергії повна механічна енергія замкнутої консервативної системи зберігається , тобто

Е₁=Е₂,

де - кінетична енергія кульки у нижньому положенні, а - її потенційна енергії у верхньому положенні (див.Мал.1б). Із закону збереження енергії випливає

(4)

звідкіля

(5)

В трикутнику АОС катет АО=L-h і за визначенням косинуса  маємо А0=ОАcos, або

L-h=Lcos. (6)

З (6) одержимо

. (7)

У досліді ударною є кулька маси , яка відхиляючись на кут , піднімається на висоту h₁, а після удару вона, відхиляючись на кут , піднімається на висоту . Друга кулька після удару, відхиляючись на кут , піднімається на висоту h₂. Згідно з (7) співвідношення між названими кутами та висотами мають вид

, , . (8)

Отже, остаточно із урахуванням (5) та (8) можна записати швидкості кульок V₁, U₁, U₂ через відповідні кути

, , . (9)

а).Закон збереження імпульсу

,

для випадку пружного удару з урахуванням (1-2) та (9) за умови m₂>m₁, приводиться до виду

. (10)

Кінетична енергія куль перед пружним ударом має величину, що складається з кінетичної енергії першої кулі і дорівнює

, (11)

а після удару з кінетичної енергії обох куль визначаються рівністю

(12)

Коефіцієнт відновлення енергії для пружного удару з урахуванням формул (13-14) має вид

або

,

а його середнє значення

. (13)

Границя довірчого інтервалу для коефіцієнта відновлення енергії у випадку пружного удару може бути обчислена за формулою

, (14)

де кути є середні значення кутів , виражені в градусах, а кути - в радіанах.

б).У випадку не пружного удару закон збереження імпульсу

(15)

з урахуванням (3) та (8) має вигляд

. (16)

Енергія куль перед не пружним ударом має величину

, (17)

а після удару

(18)

Коефіцієнт відновлення енергії для не пружного удару з урахуванням формул (17-18) буде таким

,

а його середнє значення

(19)

Границя довірчого інтервалу К для не пружного удару має вид

. (20)

де кути є середні значення кутів , виражені в градусах, а кути - в радіанах..

с).Перевірка закону збереження імпульсу.

1.Для перевірки закону збереження імпульсу для пружного удару ліву та праву частини виразу (10) для середніх значень позначимо так

, . (21)

Величини та пропорційні виміряним в експерименті імпульсам тіл до удару та після удару. Їх істинні значення знаходяться в межах довірчих інтервалів i (див.Мал.2). Існування перекриття [аб] цих інтервалів означає виконання закону збереження імпульса.

Границі довірчого інтервалу для Q та R будемо розраховувати за формулою

. (22)

2.Для перевірки закону збереження імпульсу при не пружному ударі ліву та праву частини виразу (16) позначимо аналогічно (21)

, . (23)

Границі довірчого інтервалу для Q та R будемо розраховувати за формулою

. (24)

Як і у випадку пружнього удару, величини та пропорційні виміряним в експерименті імпульсам тіл до удару та після удару. Їх істинні значення знаходяться в межах довірчих інтервалів i (див.Мал.2). Існування перекриття [аб] цих інтервалів означає виконання закону збереження імпульса.