Применение дифференциальных уравнений Пуассона – Лапласа для расчета электростатических полей

Решить задачу (рис.5) используя уравнения Пуассона – Лапласа.

Рассматриваем первую область – заряженный ( =const) диэлектрик ( )

Для расчета используем уравнение Пуассона:

Выражая через проекции в цилиндрической системе координат и учитывая цилиндрическую симметрию, получим:

Умножаем на r:

Интегрируем по r:

Делим на r:

Интегрируем по r: (В) (17)

, т.к. , то

(18)

Вторая область , диэлектрик не заряжен, – объемная плотность заряда = 0, применяем уравнение Лапласа:

Выражая через проекции в цилиндрической системе координат и учитывая цилиндрическую симметрию, получим:

Сокращаем на 1/r и интегрируем по r:

Делим на r:

Интегрируем по r: (19)

(20)

Третья область

Заземленный металлический экран, в нем электростатическое поле длительно существовать не может ,

Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия: равенства потенциалов на границе раздела двух сред; нормальных составляющих вектора смещения на границе двух диэлектриков и на границе диэлектрик – проводник.

1. При согласно (18) и следует (21)

2. При на границе первой и второй областей потенциалы и равны:

(22)

(23)

(24)

3. При на границе второй и третьей областей:

(25)

(так как металлический экран заземлен, плотность свободных зарядов )

Систему уравнений (22) – (25) записываем, учитывая (17) – (21), решаем методом подстановки и находим значения всех постоянных интегрирования, подставляя которые в (17) – (21) получаем законы изменения .

Теорема единственности и ее следствия

Теорема: решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям задачи единственно.

Следствия:

1. Электростатическое поле, существующее по одну сторону от замкнутых эквипотенциальных поверхностей, и решение, описывающее это поле не изменяется, если эти поверхности принять за поверхности проводников, которым приданы соответствующие потенциалы.

2. Электростатическое поле, существующее по одну строну от поверхности раздела двух сред, и решение, описывающее это поле, не изменяется, если по другую сторону от этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов, но так, чтобы граничные условия не изменились.

Поле двухпроводной линии без учета влияния земли

Расчет поля реальной двухпроводной линии сведем к расчету поля от двух заряженных осей . Учтем, что потенциал поля в любой точке N(x,y) от равен: (26)

Рис.6.

Потенциал будет постоянным в тех точках пространства, занятого полем, где постоянно выражение (26). Следовательно, при , а это уравнение эквипотенциальных линий, где k – параметр семейства этих линий, каждая из которых является окружностью с центром на прямой (ОХ), проходящей через следы осей ( ).

Провода реальной двухпроводной линии имеют конечные сечения, распределение зарядов по их поверхности не равномерно, а закон этого распределения не известен, что осложняет расчет.

Однако в случае цилиндрических проводов круглого сечения задачу можно решить, учитывая, что в поле двух заряженных осей все поверхности равного потенциала являются боковыми поверхностями цилиндров. Следовательно, нужно так расположить оси , чтобы две поверхности равных потенциалов совпали с поверхностями реальных проводов линий, имеющих эти потенциалы. Тогда расчет поля реальной двухпроводной линии без учета влияния земли будет сведен к расчету поля от заряженных осей и выполнен верно согласно теоремы единственности и ее первого следствия.

Электрические оси , смещены относительно геометрических осей проводов на расстояния , которые могут быть найдены из условия эквипотенциальности поверхностей проводов, совпадающих с соответствующими поверхностями от ( ) (рис.7).

Рис. 7

Для расчета рассмотрим линию из проводов разного сечения радиусов , и расстоянии d между их осями.

Уравнение эквипотенциалей:

Для точек , , левого провода и , правого, приравнивая и , согласно (26) получим:

(27)

По известным d, , , можно определить из (27) положение электрических осей .

Если провода одного сечения ; , то вместо двух будет одно уравнение:

(28) откуда ; (29)

Когда , то ( ) смещением электрических осей относительно геометрических можно пренебречь, и рассматривать поле этих проводов, как поле двух осей ( ).

Напряжение U между проводами равного сечения:

При ,

 

Тогда емкость на единицу длины двухпроводной линии без учета влияния земли:

(31)