Классификация игр

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

22. Формальное представление игр. Антагонистические игры.

23. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим A₁, A₂, ..., A_m. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, ..., B_m. Говорят, что игра имеет размерность m × n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

A_i и B_j (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш a_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (- a_ij ) игрока В. Предположим, что значения о,у известны для любой пары стратегий (A_i ,B_j ). Матрица P = (a_ij ), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j , называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В. Составим платежную матрицу для следующей игры.

24. Геометрическая интерпретация игры 2х2.

Решение игры 2×2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платежной матрицей Р = (a_ij), i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис. 3.1) отложим единичный отрезок A₁ A₂ точка A₁(х=0) изображает стратегию A₁, а все промежуточные точки этого отрезка — смешанные стратегии S_A первого игрока, причем расстояние от S_A до правого конца отрезка — это вероятность p₁ стратегии A₁, расстояние до левого конца — вероятность p₂ стратегии A₂. На перпендикулярных осях I—I и II—II откладываем выигрыши при стратегиях A₁ и A₂ соответственно. Если 2-й игрок примет стратегию B₁, то она дает выигрыши a₁₁ и a₂₁ на осях I—I и II—II, соответствующие стратегиям A₁ и A₂. Обозначим эти точки на осях I—I и II—II буквой B₁. Средний выигрыш v₁, соответствующий смешанной стратегии S_A, определяется по формуле математического ожидания v₁ = a₁₁ p₁ + a₂₁ p₂ и равен ординате точки M₁, которая лежит на отрезке B₁ B₁ и имеет абсциссу S_A (рис. 3.1).

Рис. 3.1	Рис. 3.2

Аналогично строим отрезок B₂B₂, соответствующий применению вторым игроком стратегии B(Рис. 3.2). При этом средний выигрыш v₂ = a₁₂ p₁ + a₂₂ p₂ — ордината точки M₂. В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия S*_A такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3.3 в примере 3.4.1), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке B₁ N — против стратегии B₁ , на участке NB₂ — против стратегии B₂). Оптимальную стратегию S*_A = ( p*₁ , p*₂ ) определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игры v. На рис. 3.3 (пример 3.4.1) обозначены также верхняя и нижняя цены игры α и β. Применим геометрический метод для решения следующего примера.