25. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры.

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Игры с нулевой суммой — особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо — числа означают платежи игрокам — и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.^[9]

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Сюда также относятся го, шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.

26. Игры с природой. Критерий Байеса(Лапласа).

К теории игр примыкает так называемая теория статистических решений. Зачастую принятие управленческих решений предполагает наличие ситуаций выбора наиболее выгодного варианта поведения из нескольких имеющихся вариантов в условиях неопределённости. В этом случае противником игрока (лица, принимающего решения – ЛПР) является некоторая объективная действительность, которую принято называть природой.

Игра с природой (статистическая игра) – это парная матричная игра, в которой сознательный игрок А (статистик) выступает против участника, совершенно безразличного к результату игры, называемого природой.

Объективно система (природа, окружающая среда) не заинтересована в проигрыше игрока. В процессе принятия решения о выборе варианта поведения игрок имеет информацию о том, что окружающая среда может принять одно из нескольких возможных состояний и сталкивается с неопределённостью относительно того конкретного состояния, которое примет окружающая среда в данный момент времени.

В общем виде платёжная матрица статистической игры имеет вид:

	S1	S2	…	Sn
A1	а11	а12	...	а1n
A2	а21	а22	...	а2n
…	...	...	...	...
An	am1	am2	...	amn

В данной игре строки матрицы (A_i ) - стратегии ЛПР, а столбцы матрицы (S_j) – состояния окружающей среды. Будем считать, что элементы платежной матрицы имеют смысл дохода, т.е. чем больше значение, тем лучше для игрока А. Хотя в некоторых ситуациях они могут иметь обратный смысл, тогда рассуждения, приведенные ниже, нужно поменять соответствующим образом.

Начинать анализ платежной матрицы следует с определения «заведомо невыгодных» стратегий игрока А (доминируемых), которые исключаются из платежной матрицы. Удалять доминируемые стратегии – состояния окружающей среды нельзя, т.к. они принципиально не могут быть выгодными или невыгодными.

Нецелесообразно решать такую игру методами решения антагонистических игр, определяя смешанную стратегию игрока А. Здесь качественно другая ситуация. Поэтому решением является чистая стратегия игрока А, которая определяется с помощью критериев принятия решения. На практике часто применяются следующие критерии:

- Критерий Байеса.

- Критерий недостаточного основания Лапласа.

- Максиминный критерий Вальда.

- Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

- Критерий Ходжа-Лемана.

- Критерий минимаксого риска Сэвиджа.

Критерий Байеса (критерий максимального математического ожидания)

При использовании этого критерия игроку А (статистику) должны быть известны вероятности, с которыми система (окружающая среда) находится в каждом из своих состояний S₁, S₂, …, S_n. Обозначим эти вероятности соответственно p₁, p₂, …, p_n, при этом . Информация о вероятностях состояний окружающей среды может быть известна, например, на основе данных статистических наблюдений (на метеостанциях более ста лет ежедневно фиксируются значения различных метеопараметров, на основе этой информации можно рассчитать статистическую вероятность – относительную частоту интересующего состояния окружающей среды).

Оптимальным можно считать такое поведение игрока А, при котором максимизируется его средний выигрыш (математическое ожидание выигрыша). Речь идет о максимизации среднего выигрыша при многократном повторении принятия решения.

Каждая строка дополняется числом: , .

Среди всех W_i, выбирается максимальное (которому и соответствует оптимальная стратегия):

Критерий недостаточного основания Лапласа

Если вероятности состояний окружающей среды примерно равны, или нет о них информации, то можно пользоваться критерием Лапласа:

, .

.