1.4. Типи математичних постановок задач класифікації

та понижування розмірності.

Доцільність і ефективність конкретного методу класифікації та зменшення розмірності обумовлюється математичною моделлю, тобто математичною постановкою задач. Визначальним у виборі математичної постановки задачі є характер початкової інформації, що складається з двох частин:

а) апріорних відомостей знань про досліджувані класи;

б) вибіркової статистичної інформації навчальних вибірок.

Математична модель, яка лежить в основі побудови того чи іншого методу зниження розмірності включає переважно в себе три основних компоненти:

• Форму задання початкової інформації. Тут треба відповісти на питання:

а) в якому виді задано основну інформацію про об’єкт;

б) чи є серед початкових статистичних даних навчальна інформація, тобто які-небудь відомості про аналізовану результуючу властивість;

в) якщо навчальна інформація присутня в початкових статистичних даних, то в якій саме формі вона представлена.

• Тип оптимізаційного критерію інформативності шуканого набору ознак . Критерій інформативності може бути орієнтований на досягнення різних цілей. Можна виділити цілий клас критеріїв автоінформативності, оптимізація яких приводить до набору допоміжних змінних , що в свою чергу дозволяє майже точно відтворити інформацію, що міститься в описовому масиві статистичних даних . Якщо описова інформація представлена матрицею “об’єкт-властивість” то мова йде про максимально точне відтворення початкових значень змінних на основі значно меншого числа допоміжних змінних . Критерій орієнтований на пошук економних наборів допоміжних змінних , що забезпечують максимально точне відтворення інформації, що відноситься до результуючої ознаки.

• Клас допустимих перетворень початкових ознак. Допоміжні ознаки при представленні початкової описової інформації матрицею “об’єкт-властивість” будується у вигляду функцій від , тобто . Для забезпечення змістовності і конструктивної реалізованості розв’язку оптимізаційної задачі необхідно визначити обмеження в класі допустимих розв’язків , в рамках якого ця оптимізаційна задача буде розв’язуватись. Від вибору суттєво залежить і отримуваний розв’язок даної оптимізаційної задачі.

Лекція к-2.

2. Побудова матриць близькості

2.1. Гіпотеза компактності.

Оцінювання ступеня подібності або відмінності об’єктів, які представлені векторами ознак, вимагає введення деякої формальної міри подібності (відмінності), в термінах якої і буде здійснюватись порівнювання цих об’єктів між собою. Впровадження такої міри обґрунтовується гіпотезою компактності, яка постулює можливість розбиття великої кількості об’єктів дослідження та невелике число “сильно відмінних” підмножин, в середині яких об’єкти є “подібні“ між собою в тому чи іншому можливо і невідомому, але об’єктивно існуючому відношенні.

Якщо описи об’єктів розглядаються як вектори в – мірному просторі ознак то гіпотеза компактності стверджує, що для того щоб задача обробки емпіричних даних, яка полягає у виявленні в них емпіричних закономірностей, мала розв’язок, емпіричні дані повинні мати дві принципові властивості.

1. Компактність – точки, що відображають в об’єкти одного класу, розташовані в ближче одна до одної ніж точки, що відображають в об’єкти інших класів;

2. Сепарабельність – класи повинні бути обмежені і не перетинатися між собою.

Гіпотеза компактності найбільш природно вводить міру відмінності між об’єктами, як відстань між точками (векторами), що відображають порівнюванні об’єкти в просторі . При цьому в одних і тих же термінах формулюється як поняття відстані між об’єктами та заданими їх описами та так і поняття відстані від об’єкта до класу

(1)

та між класами та

. (2)

З (1) та (2) випливає, що відстань між об’єктом та класом це відстань між цим та найближчим представником класу , а відстань між класами та – це відстань між найближчими представниками цих класів. На практиці використовується і менш строге поняття відстані від об’єкту до класу та між класами , наприклад у вигляді відстані від центра ваги класу.