Питання для самоперевірки

1. Дайте визначення функції. Що називають областю визначення та областю значень функції?

2. Перелічіть основні елементарні функції.

3. Дайте визначення границі функції.

4. Дайте визначення неперервності функції в точці.

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти вказані границі:

а) б) в)

г) д)

Практичне заняття № 6 з теми “ Похідна функції, її геометричне і механічне тлумачення. Основні правила диференціювання. Таблиця похідних основних елементарних функцій. Диференціал функції”

6.1 Похідна функції, її геометричне і механічне тлумачення

Нехай функцію визначено . Різниця називається приростом арґументу, а різниця - приростом функції. Приріст функції позначають або , тоді = = .

Нехай функцію у = визначено для , а також, .

Похідною від функції у точці х називається границя, якщо вона існує, відношення приросту функції у цій точці до відповідного приросту арґументу , за умови, що прямує до нуля

.

Операція знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції.

6.2 Основні правила диференціювання

Якщо , , тоді

6.3 Таблиця похідних основних елементарних функцій

Нехай маємо складну функцію у = , де . Змінну u будемо називати проміжним арґументом. Припустимо, що функція є диференційованою в точці х, а функція у= – у відповідній точці . Тоді має місце теорема.

Теорема 1. Похідна складної функції за незалежною змінною дорівнює добутку похідної за проміжним арґументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною, тобто:

(6.1)

Похідною n-го порядку називають похідну від похідної -го порядку та позначають , тобто

.

6.4 Диференціалом функції

Диференціалом функції називають головну лінійну відносно частину приросту функції.

Якщо функція у точці х має похідну , тоді добуток похідної на приріст аргументу є диференціалом функції та позначається символом : .

З важаючи на те, що для функції , тому позначимо . Остаточно маємо: , (6.2)

звідки .

Отже, похідну можна визначити як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Приклад 6.1. Продиференціювати задані функції:

а) .

;

б) .

;

в)

г) .

Приклад 6.2. Знайти : .

Розв'язок. Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою , а потім знайдемо похідну як від функції заданої неявно.

Приклад 6.2. Знайти диференціали функцій:

а) ; б) ; в) .

Розв'язок.

а) ;

б) ;

в) .

Питання для самоперевірки

1. Дайте визначення похідної. Назвіть її геометричний та механічний зміст.

2. Наведіть формули похідних суми, добутку та частки двох функцій.

3. Що називається диференціалом функції?

Завдання для самостійної роботи

1. Продиференціювати задані функції:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Знайти диференціали функцій:

а) ; б) ; в)

Практичне заняття № 7 з теми “ Інтервали зростання і спадання функції. Екстремум функції. Інтервали опуклості графіка функції. Асимптоти. Дослідження функцій за допомогою похідних ”

7.1 Інтервали зростання і спадання функції. Екстремум функції

За допомогою похідних першого та другого порядків можна досить швидко та чітко з'ясувати найбільш характерні особливості функції, будувати її графік та розв'язувати задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень в замкненій області.

Якщо функція неперервна , а її похідна ( ), то функція зростає (спадає) на цьому відрізку.

Функція має максимум (мінімум) у деякій внутрішній точці інтервалу її визначення якщо існує такий -окіл точки , що (крім ) має місце нерівність ( ). Значення називають значеннями максимуму (мінімуму) функції або екстремумами функції.

Необхідна умова існування екстремуму. Якщо функція диференційована і має екстремум у точці , то її похідна в цій точці або не існує.

Достатня умова існування екстремуму. Якщо неперервна функція має похідну (за винятком, можливо, точки ), і якщо при переході зліва направо через критичну точку змінює знак з мінуса на плюс (з плюса на мінус), то функція в цій точці має мінімум (максимум).

7.2 Інтервали опуклості графіка функції

Функція називається опуклою вгору (опуклою вниз) на інтервалі , якщо для будь-яких двох значень має місце нерівність

.

Точка графіка неперервної функції називається точкою перегину, якщо в точці М крива перетинає дотичну.

Нехай функція двічі диференційована . Якщо в усіх точках цього інтервалу , то графік функції опуклий вгору, якщо ж – опуклий вниз.

Необхідна ознака існування точки перегину. Нехай функція має в інтервалі неперервну другу похідну . Тоді, якщо точка з абсцисою є точкою перегину графіка функції, то в цій точці .

Достатня ознака існування точки перегину. Якщо друга похідна неперервної функції змінює знак при переході через , то точка з абсцисою є точкою перегину графіка функції.

7.3 Асимптоти

Розрізняють три основні типи асимптот: вертикальні, горизонтальні й похилі. Зустрічаються також функції, графіки яких мають нелінійні асимптоти.

Лінія називається асимптотою кривої , якщо відстань між точками з однаковими абсцисами на кривих і прямує до нуля, коли точка рухається вздовж кривої у нескінченність.