Пряма є вертикальною асимптотою кривої, якщо (тобто, точка є точкою розриву функції другого роду).

Пряма є горизонтальною асимптотою кривої , якщо (або ).

Пряма є похилою асимптотою кривої , якщо існують скінченні границі , .

Лінія є криволінійною асимптотою кривої , якщо границя =0.

7.4 Схема дослідження властивостей та побудова графіка функції

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на періодичність.

3. Дослідити функцію на парність.

4. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат

5. Знайти точки розриву функції та з'ясувати їх тип.

6. Дослідити поведінку функції на межах області визначення, знайти асимптоти.

7. Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції .

8. З'ясувати напрямок опуклості графіка функції, знайти точки перегину.

9. Використовуючи отримані результати, побудувати графік.

Приклад 7.1. Дослідити на екстремум функцію

у =

Розв'язок. Знайдемо першу похідну функції: . Прирівнюючи першу похідну до нуля, і розв'язавши, знайдемо її критичні точки:

.

П охідна визначена всюди, тому інших критичних точок немає.

Знак похідної змінюється так: при переході через точку – маємо плюс і зліва, і справа, тому точка не є екстремумом; при переході через точку – з плюса на мінус ( точка максимуму); при переході через точку – з мінуса на плюс (точка мінімуму). Отже, функція має максимум у точці , 2,7, та мінімум у точці , -9,5. Такий самий результат отримаємо при знаходженні екстремуму скориставшись теоремою 6.5: знаходимо другу похідну та значення другої похідної в точках , :

, , тому ця точка є точкою максимуму,

, отже – точка мінімуму. Схематично графік цієї функції зображено на рисунку 6.2.

Приклад 7.2. Дослідити на опуклість функцію

у = .

Розв'язок. Знаходимо другу похідну та прирівнюємо її до нуля:

, , .

Звідси маємо , та . Похідна існує всюди, тому абсциси точок перегину слід шукати серед значень , та . Визначаючи знаки похідної в околах цих точок, отримуємо:

–		–

При переході через кожну точку похідна змінює знак, тому кожна з них є точкою перегину. Проміжки, в яких похідна є від`ємною, є проміжками опуклості вгору; проміжки, в яких похідна є додатною, є проміжками опуклості вниз графіка функції (рис.7.1).

Приклад 7.3. Дослідити на опуклість функцію .

Розв'язок. Функція визначена і диференційована для всіх х. Знайдемо :

, .

, якщо .

Точка розбиває числову вісь на два інтервали і . Візьмемо довільну точку, яка належить першому інтервалу, наприклад, . Так як , то на інтервалі функція опукла вгору. Візьмемо довільну точку, яка належить другому інтервалу, наприклад, ; . Отже, на інтервалі функція опукла вниз. При переході через точку змінює знак, тому – точка перегину.

Приклад 7.4. Дослiдити функцiю та побудувати графiк:

а) .

Розв'язок.

а)

1. Знайдемо область визначення функцiї: .

2. Функцiя неперiодична.

3. Дослiдимо на парнiсть: . Отже , функцiя нi парна, нi непарна.

4. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

з вiссю : , . Маємо точку ;

з вiссю : , . Iнших точок немає.

5. З'ясуємо характер точки розриву. Знайдемо

,

Отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.

6. Знайдемо похилу асимптоту .

,

.

Отже, похилою асимптотою є пряма .

7. Знайдемо першу похідну функції, екстремуми функції та інтервали зростання і спадання

Отже, похідна має три критичні точки. Вони розбивають вісь 0х на проміжки, в яких знак похідної не змінюється. Отримані значення заносимо в таблицю.

						0
	+	0	–		+	0	+
у		max				--

Таблиця 7.1

З таблиці видно, що в точці існує максимум функції, проміжком спадання є , та зростає функція на проміжках .

Обчислимо , тобто функція набуває максимуму в точці .

8. Знайдемо другу похідну функції та з'ясуємо напрямок опуклості графіка, точки перегину.

, , , .

Досліджуємо знак похідної (Таблиця 7.2)

				0
	–		–	0	+
у	Опукла вгору		Опукла вгору	Точка перегину (0;0)	Опукла вниз

Таблиця 7.2

9 . Будуємо графік. Першими на графіку наносять лінії асимптот і точки перетину з осями координат, точки екстремумів і перегину графіка (рис.7.3)