Энергетические соотношения в системе виброизоляцииции.

Допустим, существует система cSстепенями свободы.

1. Кинематическая энергия системы «Т».

q1 q2 – для S=2 q1 q2, q1 q3, q2 q3 – для S=3 S – число степеней свободы.

a_ij- инерционный (кинетический) параметр системы

	При поступательном движении объекта.
	При поворотных движениях объекта.

- обобщенные скорости по соответствующим координатам (скорости абсолютные).

2. Потенциальная энергия объекта «П».

Сij– жесткостной параметр системы:

q_i,q_j– деформации упругих элементов (относительные).

3. Диссипативная функция «Ф».

b_ij – коэффициент демпфирования.

3. Уравнение Лагранжа (уравнение движения объекта).

IIIIII

L=T-П - функция Лагранжа.

i– число обобщенных координат, равное числу степеней свободы.

I- баланс кинетической и потенциальной энергии в системе.

II- потери энергии на диссипацию.

III- приток энергии за счет возмущающих сил.

В частных случаях Q(t) равно нулю:

1. при свободном движении объекта (смещение блока от положения равновесия)

2. кинематическое возмущение

Данное уравнение позволяет проанализировать движение системы с любой степенью свободы и в любой момент времени. Для системы cSстепенями свободы уравнение Лагранжа превращается в систему изSдифференциальных уравнений. ПриS=6 уравнение Лагранжа – система из 6-ти уравнений.

Решение в общем виде подобной системы – сложная задача даже при использовании ЭВМ.

При S= 1 - система решается.

При S> 1 – применяются упрощенные методы расчета системы.

1. Свободное движение объекта вязким трением с одной степенью свободы.

S=1,	,	Подставив эти выражения в уравнение Лагранжа получим:
	,

- частота собственных колебаний системы.

- коэффициент затухания.

с - жесткостной параметр системы.

а - инерционный параметр системы.

Существуют два случая:

1. Малое затухание системы

q0– начальное смещение. - угол отсечки.

Т.к. обычно на практике логарифмический декремент Колебаний:

Примечания:

1. . Случай наиболее типичен для реальных виброизоляторов .

2. Затухание практически не искажает значение собственной частоты.

3. Затухание свободных колебаний происходит по экспоненте и амплитуда колебаний стремится к 0. Считают, что амплитуда колебаний равна 0 через 10…15 периодов собственных колебаний.

2. Значительные потери. Характер движения апериодический. В системах виброизоляцииции практически не встречается.

Конкретный характер движения зависит от начальных условий. 1. 2.

Рассмотренные случаи соответствуют установке виброизоляторов с вязким трением или гистерезисными потерями, для которых справедлива функция: .

2. Свободное движение объекта на амортизаторах с сухим трением.

T– период собственных колебаний.

Решение выглядит следующим образом:

1.
2.

Основные особенности движения систем на амортизаторах с сухим трением.

1. Частота собственных колебаний определяется по формуле и не зависит от величины диссипативных сил.

2. Собственные колебания затухающие и затухают по линейному закону (диссипативная сила не зависит от скорости, существует сухое трение).

3. Существует зона застоя для виброизоляторов с сухим трением: собственные колебания затухают до нуля. В зоне застоя объект не доходит до положения равновесия расстояние равное , т.е. существует некоторая амплитуда смещения блока относительно положения равновесия.

Остановка блока в зоне застоя происходит в момент времени t₁, для которогои(при);

.

Наличие зоны застоя объясняется малой величиной потенциальной энергии, которая не может преодолеть силы сухого трения амортизаторов; кинетическая энергия равна нулю. Говорят, что амортизатор для зоны застоя закрыт. Амортизаторы с сухим трением не работают при амплитудах смещения .

Вынужденные колебания системы при пассивной виброизоляции.

Блок установлен на условном амортизаторе.

C- жесткость амортизатора; b- коэффициент демпфирования демпфера m- масса блока Основание колеблется по гармоническому закону

При вибрации основания происходит перемещение блока. Нам необходимо определить параметры колебания блока: D= ?;=?;

Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Решение получается при помощи уравнения Лагранжа.

- с учетом сжатия с обоих концов.

Уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

Вынужденные колебания системы виброизоляцииции описываются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Искомая амплитуда Dявляется решением этого уравнения. Это сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

D=D₀+D₁

D₀– решение однородного дифференциального уравнения.

D₁– частное решение неоднородного уравнения.

Для получения D₀правая часть уравнения приравнивается к нулю. Т.о. получаем уравнение, которое описывает свободное движение объекта. Ввиду быстрого затухания свободных колебаний в практических случаях можно не учитыватьD₀, тогдаD=D₁и искомое решение получается в виде частного решения этого уравнения:

введем обозначения:

- коэффициент динамичности.

- коэффициент виброизоляции.

Отношение статической упругой силы к амплитуде силы возбуждающих колебаний:

Т.о. , т.е. взаимосвязь между амплитудой вибрации блока и амплитудой вибрации основания описывается коэффициентом динамичности. Коэффициентом динамичности показывает во сколько раз амплитуда вибрации блока больше (или меньше) амплитуды вибрации основания. Для защиты блока необходимо выполнение следующего соотношения:.

Частота вынужденных колебаний блока равна частоте возмущающих воздействий.

Амплитуда вибраций блока определяется соотношением , т.е. соотношения возмущающего воздействия и собственной частоты системы.

Вынужденные колебания системы амортизации при пассивной виброизоляции.

Блок установлен на условном амортизаторе.

C- жесткость амортизатора; b- коэффициент демпфирования демпфера; m- масса блока; Основание колеблется по гармоническому закону:

При вибрации основания происходит перемещение блока. Нам необходимо определить параметры колебания блока: D= ?;=?;

Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Решение получается при помощи уравнения Лагранжа.

- с учетом сжатия с обоих концов.

Уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

Вынужденные колебания системы амортизации описываются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Искомая амплитуда Dявляется решением этого уравнения. Это сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

D=D₀+D₁

D₀– решение однородного дифференциального уравнения.

D₁– частное решение неоднородного уравнения.

Для получения D₀правая часть уравнения приравнивается к нулю. Т.о. получаем уравнение, которое описывает свободное движение объекта. Ввиду быстрого затухания свободных колебаний в практических случаях можно не учитыватьD₀, тогдаD=D₁и искомое решение получается в виде частного решения этого уравнения:

введем обозначения:

- коэффициент динамичности.

- коэффициент виброизоляции.

Отношение статической упругой силы к амплитуде силы возбуждающих колебаний:

Т.о. , т.е. взаимосвязь между амплитудой вибрации блока и амплитудой вибрации основания описывается коэффициентом динамичности. Коэффициентом динамичности показывает во сколько раз амплитуда вибрации блока больше (или меньше) амплитуды вибрации основания. Для защиты блока необходимо выполнение следующего соотношения:.

Частота вынужденных колебаний блока равна частоте возмущающих воздействий.

Амплитуда вибраций блока определяется соотношением , т.е. соотношения возмущающего воздействия и собственной частоты системы.

Коэффициент динамичности.

Вид кривой зависит от демпфирования системы.

1 зона.Она характеризуется, что соответствует жесткой системе с высокими собственными частотами без амортизаторов. Для этого случаязащиты от вибрации нет. В лучшем случае параметры вибрации полностью передаются на блок без усиления.

2 зона.Зона резонанса.

Она характеризуется примерным равенством частот и . Для реальных виброизоляторов. Зона резонанса недопустима. Уменьшениевозможно за счет увеличения демпфирования как амортизаторов, так и системы в целом.

3 зона.Зарезонансная зона.

часто

здесь имеет место защита от вибраций. Зона соответствует малым значениям и соответствует системе с амортизаторами.

Т.о. задача проектирования системы амортизации сводится к обеспечению таких значений , чтобы, при этом, т.е. ослабление вибрации в 100 раз.

Значительное уменьшение собственных частот, приводящее к увеличению значения и соответственно к еще большему уменьшениюво многих случаях не оправдано, т.к. при этом резко увеличиваются габариты и стоимость амортизаторов.

Основные этапы проектирования системы амортизации:

1. Определение собственной частоты системы.

2. Проверка соотношения , где- задано.

а) - работа в зарезонансной зоне.

б)

Если а) и б) выполнено, то:

3. При а) рассчитываеми ускорение объекта

при б) сразу принимаем решение о том, что система спроектирована правильно.

4. Сравниваем и– ускорение объекта и допустимое ускорение. Присистема спроектирована правильно, если нет, то изменяются параметры системы, тем самым изменяется значение соотношения частот и весь расчет повторяется.

Фазо-частотная зависимость.

Эффективность амортизации.

Эффективность оценивается только в зарезонансной области.

Особенности движения системы с 6 степенями свободы. Парциальные частоты системы.

Парциальные системы:

Если в системе амортизации с 6-ю степенями свободы зафиксировать 5 степеней, то оставшаяся степень будет характеризоваться своей парциальной частотой. Т.о. для системы из 6-ти парциальных частот три частоты определяют поступательное движение объекта вдоль оси координат X,Y,Zи три частоты определяют поворотное движение объекта вокруг координатX,Y,Z.

, где P– парциальная частота.

Парциальные частоты в поступательные:

–суммарные динамические жесткости системы; m– масса объекта;

Парциальные частоты поворотные:

–поворотные жесткости. –момент инерции центральных осей блока.

Как видно из формул, расчет этих частот не представляет труда, если известны параметры системы.

Неравенство Релея:

где

–собственная частота системы.

–одна из 6-ти парциальных частот:

под знаком суммы могут присутствовать только разные парциальные частоты.

–количество слагаемых, которое зависит от конструктивных особенностей системы амортизации, как справа, так и слева участвуют одни и те же парциальные частоты.

Неравенство Релея позволяет определить диапазон собственных частот системы без точного определения конкретных частот, причем чем большеN, тем меньше точность в определении частот.

Расширение диапазона собственных частот при расчете по неравенству Релея обеспечивает дополнительный запас по значению коэффициента динамичности.

Конструктивные особенности системы амортизации.

Основной особенностью, определяющей вид неравенства Релея, является наличие плоскости в системе. Плоскость симметрии– это плоскость, относительно которой симметричны:

• массы частей блока;

• координаты установки амортизаторов.

Различаются следующие системы амортизации:

1. Система с 3-мя плоскостями симметрии.

2. Система с 2-мя плоскостями симметрии.

3. Система с 1-ой плоскостью симметрии.

4. Система без плоскостей симметрии.

Различные системы имеют различный вид неравенства Релея и различную точность в определении частот.

Система 3-мя плоскостями симметрии.

Симметрия: XOY XOZ YOZ

1. Равенство (симметричность) масс выдерживается автоматически, т.к. оси проходят через центр тяжести блока и через них проводится плоскость симметрии.

2. Координаты виброизоляторов должны быть симметричны.

1. Система с 8-ю амортизаторами: 4 под и 4 над блоком. Ее свойства:

а) случай не рациональный, т.к. велико число амортизаторов, вполне достаточно 4-х. б) усложнен расчет и монтаж такой системы.

Система с 4-мя амортизаторами Z_i= 0. т.е. установка виброизоляторов в плоскостиXOY. Свойства:при строгом решении исходной системы 6-ти дифференциальных уравнений подобной системы амортизации наличие плоскости симметрии масс частей блоков, координат установки амортизаторов, жесткостные параметры амортизации приводит к тому, что указанная система уравнений разбивается на 6 независимых уравнений. Из каждого уравнения может быть точно определена своя собственная частота.

это вырожденное неравенство Релея-Донкерли для N= 1.

Т.о. на оси частот имеем 6 дискретных собственных частот.

Во всех случаях желательно сужать диапазон собственных частот. В данной системе амортизации возможно при введении дополнительных условий добиться равенства всех собственных частот: и на оси частот имеем одну дискретную частоту.

Эти дополнительные условия имеют вид:

а) Динамические жесткости виброизоляторов и соответствующие системы амортизации по всем направлениям должны быть равны: C_gu=C_gv=C_gw.

б) Координаты «Х» виброизоляторов должны быть равны радиусу инерции относительно оси «Y», а координаты «Y» виброизоляторов должны быть равны радиусу инерции относительно оси «Х».

Недостаток: для большинства амортизаторов: C_gu=C_gvC_gw.