2.2.Построение типовой модели

Пример:

Имеются следующие данные об уровне механизации работ Х (%) и производительности труда Y (т/ч) для 14 однотипных перерабатывающих сельскохозяйственных предприятий (таблица 2.1).

Таблица 2.1 – Исходные данные

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Уровень механизации работ, % (Х)	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
Производительность труда, т/ч (Y)	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

Необходимо:

1. Вычислить описательные статистики. Проверить характер распределения признаков. При необходимости удалить аномальные наблюдения.

2. Построить поле корреляции

3. С помощью метода наименьших квадратов найти параметры a и b.

4. Дать экономическую интерпретацию уравнению регрессии исчислив средний коэффициент эластичности , парный линейный коэффициент корреляции – r, коэффициент детерминации – D.

5. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, сделать вывод.

6. Провести статистическую оценку надежности параметров парной корреляции (с помощью t-статистики Стьюдента).

7. Рассчитать прогноз значения результативного признака, при прогнозном значении факторного, составляющим 120% от его среднего уровня.

8. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

Проверим характер распределения признаков X и Y. Для этого рассчитаем описательные статистики для каждого из признаков с помощью ППП MS Excel (методика расчета рассмотрена в Разделе 1):

Таблица 2.2 – Описательная статистика

Показатель	Уровень механизации работ, % (Х)	Производительность труда, т/ч (Y)
Среднее	51,714	35,143
Стандартная ошибка	3,846	2,158
Медиана	54,5	35,5
Стандартное отклонение	14,392	8,075
Дисперсия выборки	207,142	65,208
Эксцесс	-1,070	-0,559
Асимметричность	-0,005	-0,259
Интервал	46	28
Минимум	30	20
Максимум	76	48
Сумма	724	492
Счет	14	14
Уровень надежности(95,0%)	8,309	4,662

Для оценки силы вариации признака рассчитаем коэффициенты вариации для каждого из признаков:

; .

; .

Поскольку коэффициенты вариации по каждому из признаков не превышают порогового значения 35 %, то можно сделать вывод о том, что распределение по каждому из признаков однородно.

Рассчитанные выше показатели асимметрии позволяют сделать вывод, что по каждому из признаков наблюдается незначительная правосторонняя асимметрия. Эксцесс слабый отрицательный.

Таким образом описательная статистика позволяет заключить, что распределение по каждому из признаков подчиняется нормальному закону, следователь выборочные данные модельных признаков возможно использовать для построения регрессионной модели.

2. Построим поле корреляции, для чего отложим на плоскости в прямоугольной системе координат точки (x_i y_i) (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. – Поле корреляции

Расположение точек на графике позволяет достаточно точно определить тип уравнения регрессии. В данном случае поле корреляции напоминает прямую линию. В связи с этим оценим параметры уравнения линейной формы зависимости.

3. С помощью метода наименьших квадратов найдем параметры уравнения линейной регрессии a и b.

Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.2.3)

Таблица 2.3. – Расчетные значения

№	х	у	xy	х2	у2		·100%, (Ai, %)
1	32	20	640	1024	400	24,43	22,14	19,62	388,5	114,74
2	30	24	720	900	576	23,34	2,75	0,43	471,3	139,21
3	36	28	1008	1296	784	26,60	4,99	1,95	246,8	72,89
4	40	30	1200	1600	900	28,78	4,08	1,49	137,1	40,49
5	41	31	1271	1681	961	29,32	5,42	2,82	114,7	33,87
6	47	33	1551	2209	1089	32,58	1,27	0,17	22,18	6,55
7	56	34	1904	3136	1156	37,47	10,21	12,05	18,4	5,43
8	54	37	1998	2916	1369	36,39	1,66	0,37	5,244	1,55
9	60	38	2280	3600	1444	39,65	4,33	2,70	68,72	20,30
10	55	40	2200	3025	1600	36,92	7,68	9,43	10,82	3,19
11	61	41	2501	3721	1681	40,18	1,98	0,65	86,3	25,49
12	67	43	2881	4489	1849	43,45	1,05	0,20	233,8	69,06
13	69	45	3105	4761	2025	44,54	1,03	0,21	298,9	88,31
14	76	48	3648	5776	2304	48,34	0,71	0,11	590	174,29
Итого	724	492	26907	40134	18138	492	69,3	52,26	2693	795,45
Ср.зн	51,71	35,14	1922	2867	1296	35,14	4,95	3,73	192,3	56,81
σ	14,392	8,075	-	-	-	-	-	-	-	-
σ2	207,142	65,208	-	-	-	-	-	-	-	-

Используя данные таблицы 2.3, имеем:

β= = =0,543

a = =35,14-0,543∙51,71=7,06.

Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

Полученное уравнение показывает, что с увеличением уровня механизации работ на l % от своего среднего значения производительность труда увеличиться в среднем на 0,543 т/ч.

Рисунок 2.2. - Зависимость между уровнем механизации работ и производительностью труда (линейная регрессия).

Подставляя в полученное уравнение регрессии значения x_i из исходных данных определяем теоретические (выровненные) значения результативного признака (таблица 2.3).

4. При линейной корреляции между х и у исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 £ r £ 1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи.

Учитывая:

,

оценим тесноту линейной связи с помощью линейного коэффициента парной корреляции

Связь между факторами прямая. В соответствии со шкалой Чеддока теснота характеризуется как очень высокая.

Изменение результативного признака у обусловлено вариацией факторного признака х. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции.

R²=r_ху²·100%

R²= 0,968² ∙100%=93,7%

Следовательно, вариация производительности труда на 93,7 % объясняется вариацией (изменением) уровня механизации работ, а остальные 6,3% вариации производительности труда обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

Для практической оценки силы связи признаков у и х найдем средний коэффициент эластичности:

Таким образом, в среднем на 0,78% по совокупности изменится производительность труда от своей средней величины при изменении уровня механизации работ на 1% от своего среднего значения.

5. Произведем оценку модели с помощью средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера

5.1. Средняя ошибка аппроксимации позволяет определить на сколько % в среднем отклоняются расчетные значения признака у от фактических.

= = 69,3/14=4,95%.

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,6%. Данное значение ошибки не превышает допустимый предел (8-15%), что позволяет судить о хорошем качестве построенной линейной модели.

2. Оценим статистическую значимость модели с помощью F-критерий Фишера.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но о статистической незначимости полученного уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

F_факт = _{= ·} (n-2)

Произведем сравнение фактического значения критерия Фишера с табличны. Критический уровень определим по таблице (приложение 1).

В нашем примере k₁=2; k2=14-1-1=12.

Таким образом. F_табл.=4,75 при α=0,05.

Т.к. F_факт.> F_табл., то при заданном уровне вероятности α=0,05 следует отвергнуть нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи, уравнение регрессии и показатель тесноты связи статистически значимо и надежно.

6. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Аналогично, выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля ==r_ух =0.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики принимаем или отвергаем гипотезу Но.

Если t_табл  t_факт, то Но отклоняется, т.е. , , r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл  t_факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования , , r.

; ;

Критический уровень t_табл при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы равных df=14-2=10 равно 2,1788 (приложение 2).

>t_табл, > t_табл, >t_табл,

Следовательно, нулевая гипотеза о несущественности коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии отвергается, т. е. r, в и а с вероятностью 95% статистически значимы.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

∆ = t_табл m_=2,1788∙2,078=4,528

∆ = t_табл m_=2,1788∙0,039=0,085

Доверительные интервалы:

Для параметра а: (2,532; 11,588)

Для параметра в: (0,458; 0,628)

Анализ верхних и нижних границ доверительных интервалов свидетельствует о том, что с вероятностью 95% параметры а и  находятся в указанных пределах, причем оба параметра являются статистически значимыми, т.к. в границы доверительного интервала не попадает ноль.

7. На основе построенного уравнения регрессии расчитаем прогноз значения результативного признака, при прогнозном значении факторного, составляющим 120% от его среднего уровня.

По условию прогнозное значение фактора выше его среднего уровня =51,714 на 20%, тогда оно составит:

и прогнозное значение производительности труда, таким образом, составит:

=7,06+0,543∙62,06=40,76 т/ч

Найдем ошибку прогноза:

=

=

Далее строится доверительный интервал прогноза при уровне значимости α=0,05:

;

предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

=2,1788∙2,2=4,79

Доверительный интервал прогноза

(35,97; 45,55).

Таким образом следует сделать вывод, что с увеличением уровня механизации работ на 20% от своего среднего значения, производительность труда с вероятностью 95% будет находиться в пределах от 35,97 до 45,5 т/ч.