Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения (управления).

Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция, - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности 1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например ,…, S_m ( , полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

, (8)

где эквивалентные управления определяются так, чтобы вектор в (8) касался поверхностей ,…, S_m и чтобы значение содержалось в отрезке с концами , где – предельные значения функции с обеих сторон поверхности , i=1,…, m. Т.о., функции определяются из системы уравнений

.

Определение 5.

Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

Например, в случае конец вектора лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от до :

Рис. 4.

С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид ).

u ⁺ (t,x)

Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению . Множество определено в (7), где – отрезок с концами и ; для тех , которые непрерывны в точке (t,x), является точкой .

Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества с касательной к пересечению поверхностей ,…, S_m. На рис. 4 множество – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями

(9)

x,f - n-мерные векторы-столбцы, - координаты системы, - непрерывные функции по всем аргументам ( ), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого претерпевает разрывы на поверхности :

i=1, …, m, , ( ), - непрерывные функции. Если положить , то .

Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо подставить , которые являются решениями уравнения

,

где строки матрицы G={ } размерности являются градиентами функций . Очевидно, что при начальном значении в силу условия (10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на многообразии S(x)=0.

Пример 5.

Получить уравнение скольжения для разрывной системы:

В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при ) выполняются условия возникновения скользящего режима , а уравнение метода эквивалентного управления (10) имеет вид:

.

Найдем эквивалентное управление из уравнения , откуда , подставим его в первое уравнение системы (учитывая ):

Замечание.

Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4) приводит к уравнению движения по прямой S=0.