§2. Некоторые сведения теории дифференциальных

уравнений с импульсным воздействием.

При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.

Определение таких систем приведено [12], они задаются

а) системой диф. уравн.

(5)

б) некоторым множествам F_t, заданным в расширенном фазовом пространстве,

в) оператором A_t, заданным на множестве F_t и отображающем его на множество .

Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка , выйдя из точки (t₀, x₀), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой решением x(t) = x(t, t₀, x₀) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t = t₁ > t₀, в который точка (t, x(t)), встречается с множеством F_t (попадает в точку множества F_t). В момент времени t = t₁ точка P_t “мгновенно” перебрасывается оператором A_t из положения в положение и движется дальше по кривой {t, x(t)}, которая описывается решением системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t₂ > t₁, в которой точка P_t снова встречается с множеством F_t. В этот момент под действием оператора A_t точка P_t мгновенно перескакивает из положения в и движется дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением системы уравнений (1), до новой встречи с множеством F_t и т.д.

Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.

Кривую {t, x(t)} описываемую точкой P_t называют интегральной кривой, а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).

Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:

(6)

Т.о., решение системы уравнений (2) - это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества F_t и имеющая разрывы первого рода в точках F_t со скачками

- состояние системы до и после скачка в момент времени t₁.

В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки P_t на заданные поверхности расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:

(7)

Устойчивость в системах с нефиксированными моментами импульсного воздействия.

Определение 2.

Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t≥t₀, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел и существует такое число , что для любого другого решения y(t) уравнений (7) из того , что следует, что при всех t≥t₀ таких, что , где – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей .

Определение 3.

Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число , что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству имеет место предельное равенство: .

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:

(8)

где т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).

Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).

Теорема 3.

Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D неравенствами

(9)

то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.

Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство

для всех - непрерывная при функция, , то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.

Пример 4.

Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:

,

В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника находим

.

Независимо от свойств поверхностей выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.