§ 6. Перемещение. Скорость.

9. Одной из задач механики является определение положения тела относительно других тел в любой момент времени, если известны начальные условия этого движения и уравнение движения. Эти уравнения содержат кинематические величины, которые характеризуют положение тела в пространстве, направление и быстроту движения тела, изменение движения тела.

Пусть в некоторой точке пространства находится материальная точка (частица, тело) M. Опишем её положение относительно тела отсчёта – точки O. Это можно сделать с помощью вектора, который начинается в точке O и заканчивается в M. (рис.1).

Векторная величина, характеризующая положение тела в пространстве относительно других тел, направленная из начала координат к данному телу, называется радиусом - вектором.

- обозначение радиуса - вектора.¹

Радиус - вектор можно выразить через его проекции на координатные оси декартовой системы координат.

r_x = x; r_y = y; r_z = z - компоненты радиуса - вектора, или:

- разложение радиус-вектора по координатам.

- модуль радиуса - вектора.

Материальная точка при своём движении описывает линию, называемую траекторией.

Линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией.²

По форме траектории движение можно разделить на прямолинейное, когда тело движется по прямой, и криволинейное, когда траектория движения представляет собой кривую.

Движение

(по форме траектории)

Прямолинейное

Криволинейное

Расстояние, отсчитанное вдоль траектории, называется пройденным путём.

Пройденный путь является скалярной величиной.

s - обозначение пройденного пути.

П усть тело движется вдоль некоторой траектории, которая целиком расположена в одной плоскости (рис. 2). Такое движение называется плоским. Положение тела в момент времени t₁ задаётся радиусом - вектором , а в момент времени t₂ - радиусом вектором .

Приращение радиуса - вектора материальной точки при перемещении её из начального положения в конечное называется её перемещением.

.

Учитывая, что положение тела изменяется с течением времени, можно записать:

,

или, так как вектор изменяется со временем:

.

Таким образом движение тела можно описать с помощью зависимости радиуса - вектора этого тела от времени.

Скорость.

10. Различные тела за один и тот же промежуток времени совершают разные перемещения. Поэтому уместно ввести такую физическую величину, которая характеризовала бы быстроту

движения тела и его направление.

С корость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту и направление движения тела, численно равная отношению перемещения этого тела к промежутку времени, за который было совершено это перемещение.

- средняя скорость.

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения (рис. 3).

Б удем уменьшать промежуток времени, за который происходит перемещение тела, при этом будет изменяться и положение вектора средней скорости. Если при достаточно длительном но конечном промежутке времени направление находилось как продолжение вектора перемещения (рис. 3), то при уменьшении промежутка времени Δt положение вектора средней скорости стремится к предельному положению, а именно: при бесконечно малом промежутке времени Δt вектор скорости направлен по касательной к траектории на данном бесконечно малом её участке, а сама скорость называется мгновенной.

Мгновенной скоростью называется первая производная радиуса - вектора материальной точки по времени.

.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в данной её точке.

Найдём модуль вектора мгновенной скорости.

.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пройденного пути по времени.

П римечание: нужно быть особо внимательными при написании обозначений , ведь . Величина - это модуль приращения радиуса - вектора, а величина - это приращение модуля вектора . Наиболее наглядно это можно показать на примере изменения направления одного и того же радиуса - вектора (рис. 5). В этом случае .

Теперь можно механическое движение разделить ещё на две группы.

Равномерное (за одинаковые промежутки времени тело проходит равные расстояния)

Неравномерное (за одинаковые промежутки времени тело проходит неодинаковые расстояния)

Единицы измерения скорости.

Единицы измерения скорости являются производными единицами, поэтому они выводятся из формулы для определения скорости.

- в СИ.

11. Часто для решения физических задач приходится представлять механическое движение в виде нескольких составляющих. Это выражается в разложении вектора скорости на составляющие. При этом раскладывать скорость на составляющие удобнее всего производить двумя способами.

Разложим вектор скорости по координатам:

Проекция вектора скорости на координатную ось равна производной по времени соответствующей координаты частицы.

С помощью проекций вектора скорости на оси координат можно вычислить и модуль скорости.

- модуль вектора скорости.

Рассмотрим ещё один способ разложения скорости на составляющие. Для этого представим вектор скорости в виде:

, где - орт вектора скорости, направленный по касательной

к траектории в рассматриваемой её точке, а радиус - вектор представим в виде (рис. 6). Тогда:

- что позволяет разложить вектор скорости

на две составляющие - радиальную и трансверсальную.

1 . Радиальная составляющая направлена вдоль радиуса - вектора и характеризует быстроту изменения модуля радиуса - вектора:

.

2. Трансверсальная составляющая направлена по нормали к радиусу - вектору и характеризует изменение радиуса - вектора по направлению:

.

П олучим выражение для вычисления трансверсальной скорости. Пусть орт вектора , который изменяется по направлению (рис. 7). При малом повороте его на угол Δφ модуль приращения , тогда , где - единичный вектор для . При Δφ→0, т. е. при неограниченном уменьшении угла Δφ, вектор стремится к предельному положению при котором угол между равен . Тогда совпадает по направлению с вектором нормали к радиусу вектору:

.

Тогда:

подставим в выражение для трансверсальной

скорости:

.

Модуль скорости с учётом такого разложения будет находиться так:

.

Е щё один вопрос часто рассматривают в физике - нахождение средней величины за определённый промежуток времени, если задана функция изменения этой величины за рассматриваемый промежуток времени. В механике обычно находят среднюю скорость. Для определения средней путевой скорости тела нужно вычислить его пройденный путь. Как найти путь, проходимый телом с момента времени t₁ до момента времени t₂, зная величину скорости каждый момент времени? Для этого разобьём выбранный промежуток времени Δt = t₂ - t₁ на N малых промежутков (рис. 8). Тогда за промежуток времени Δt_i тело пройдёт путь , а весь путь:

.

Полученное приближённое равенство тем точнее, чем меньше Δt_i, поэтому:

,

а среднее значение путевой скорости с учётом выражения для нахождения пройденного пути можно найти так:

.

Можно записать полученные соотношения и в векторной форме:

- перемещение тела за конечный промежуток времени,

- вектор средней скорости за конечный

промежуток времени.

Примечание: так как геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, то пройденный путь будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции υ = υ(t) на рассматриваемом промежутке времени.