§ 10. Связь между угловыми и линейными величинами.
16.
Отдельные точки вращающегося тела имеют
различные линейные скорости
.
В общем случае скорость каждой точки
меняет своё направление непрерывно, а
также может изменяться и модуль этой
скорости, если вращение неравномерное.
Найдём связи между угловыми и линейными
величинами для произвольной точки
вращающегося тела.
П
усть
за малый промежуток времени Δt
тело повернулось на угол Δφ
(рис. 14). Точка, отстоящая от оси вращения
на расстоянии R,
проходит при этом путь Δs.
Так как время поворота мало, то Δs
можно представить как
,
откуда, используя теорему синусов,
получим:
-
так как при малом промежутке
времени
будет и малым угол поворота, то
.
-
связь
между
пройденным
путём и углом поворота.
Можно получить связь между линейным перемещением и угловым. Так как и линейное перемещение, и угловое перемещение являются векторными величинами, то связь между ними можно будет записать как векторное произведение, порядок расстановки множителей в котором определяется по построению (рис. 14).
-
связь между линейным и угловым
перемещениями.
Найдём связь между линейной и угловой скоростями:
.
Таким образом:
-
связь между
модулем линейной скорости и
модулем угловой скорости.
Если же положение рассматриваемой точки тела будет определяться радиусом - вектором, то можно найти выражение, связывающее векторы линейной и угловой скоростей. Для этого продифференцируем по времени выражение связи между линейным и угловым перемещениями.
.
Таким образом:
-
связь между
вектором линейной скорости
и вектором угловой скорости.
Полученное уравнение связи линейной и угловой скоростей хорошо согласуется с построением векторов угловой и линейной скоростей и радиуса - вектора (рис. 14).
Для нахождения связи между линейным ускорением и угловыми величинами будем по отдельности рассматривать равномерное и неравномерное вращения.
Сначала рассмотрим равномерное движение точки по окружности. Вектор линейной скорости точки при таком движении будет изменяться только по направлению. Тогда, каждая точка вращающегося равномерно тела будет иметь нормальное (центростремительное) ускорение. Отсюда, используя связь между линейной и угловой скоростями, получаем:
-
модуль
нормального ускорения.
Если
ввести перпендикулярный к оси вращения
вектор
,
проведённый от этой оси в данную точку
тела, то для этой точки:
-
связь между нормальным ускорением и
угловыми
величинами.
Знак
«минус» стоит из-за противоположного
направления векторов
.
Если же вращение неравномерное, то нужно для каждой точки определить и тангенциальное (касательное) ускорение:
.
Таким образом:
-
связь между
тангенциальным (касательным) и
угловым ускорениями.
Учитывая, что тангенциальное ускорение точки, угловое ускорение являются векторными величинами, а положение точки задаётся радиусом-вектором, можно записать:
.
Поместим угловые и линейные кинематические величины в таблицу, из которой видно, что вращательное и поступательное движения описываются аналогичными величинами.
Величина |
Линейная |
Угловая |
Связь между величинами |
Перемещение |
|
|
|
Скорость |
|
;
|
|
Ускорение |
;
|
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Уравнения равнопеременного вращения.
17. Уравнения равнопеременного вращения получаются из определений угловой скорости и углового ускорения. Эти уравнения получаются аналогично тому, как выводятся уравнения равнопеременного прямолинейного движения. Запишем определения угловой скорости и углового ускорения.
Угловое
ускорение:
;
так как вращение равнопеременное, то
.
Скорость: .
Получили два дифференциальных уравнения, которые нужно решить.
Решением данных дифференциальных уравнений являются функции, определяемые в результате интегрирования этих уравнений.
Таким образом, равнопеременное вращение можно описать системой уравнений:
