Задача 3.2

Для пошива одной из моделей юбок Дом моды известного дизайнера закупил 100 рулонов ткани. Каждое изделие комплектуется из одного переднего полотнища, одного заднего полотнища, пояса и двух карманов. При использовании различных способов раскроя одновременный выход деталей из одного рулона составляет:

Способ раскроя	Переднее полотнище	Заднее полотнище	Пояс	Карман
1	5	0	3	2
2	4	1	5	4
3	3	3	2	4
4	2	3	1	8
5	1	4	6	7
6	0	6	5	6

Необходимо определить, какое максимальное количество юбок можно выкроить из имеющегося материала.

Задача 3.3

На лесопилку поступают доски длиной 10 м. По контракту лесопилка должна поставить клиенту не менее 100 досок длиной 5 м, не менее 200 досок длиной 4 м и не менее 300 досок длиной 3 м. Как работникам лесопилки выполнить условия контракта, разрезав наименьшее количество досок?

Задача 3.4

В цех поступила партия стержней длиной 110 и 80 см. Для дальнейшего производства требуется 50 стержней длиной 25 см и 50 стержней длиной 35 см. Как разрезать имеющиеся стержни, чтобы сократить отходы до минимума?

Оптимальное планирование финансов

Общая постановка задачи: определить виды вкладов, которые стоит использовать с целью минимизации размера целевого фонда или с целью получения максимального дохода.

Модель для решения задачи минимизации размера целевого фонда:

(13)

Модель для решения задачи максимизации дохода:

(14)

где: y - размер целевого вклада, создаваемого в момент времени 0;

t - текущий момент времени, t = 0,…,T;

d_t - размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени t = 1,…,T;

j - индекс срочного вклада, j = 1,…,n;

v_j - момент времени вложения по срочному вкладу j;

w_j - срок выплаты по срочному вкладу j;

r_j - процент по вкладу j;

x_j - объем вложений по срочному вкладу j;

Gt - множество индексов j, когда по вкладу j сделано вложение в момент времени t;

Qt - множество индексов j, когда по вкладу j получена выплата в момент времени t;

z - размер дохода, который может получить вкладчик в момент времени T;

u_t - размер вклада в момент времени t, t = 0,…,T-1.

Пример решения задачи.

Компании необходимо выплатить поставщику оборудования 750 тыс. рублей. Из них 150 тыс. нужно выплатить через 2 месяца, а остальные 600 тыс. - через 6 месяцев после установки. Компанией принято решение образовать целевой фонд для получения дополнительных средств к моменту выплаты. Существующие возможные способы вложения денег представлены в таблице:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A	1	1,5
B	2	3,5
C	3	6,0
D	6	11,0

Необходимо минимизировать размер целевого фонда.

Решение:

Составим таблицу, отражающую возможности вложения и возврата денег по месяцам:

	Начало месяца
Вклады	1	2	3	4	5	6	7
A1	1	1,015
A2		1	1,015
A3			1	1,015
A4				1	1,015
A5					1	1,015
A6						1	1,015
B1	1		1,035
B3			1		1,035
B5					1		1,035
C1	1			1,06
C4				1			0,06
D1	1						1,11

где: Ai - размер вклада типа A в месяце i;

Bi - размер вклада типа B в месяце i;

Ci - размер вклада типа C в месяце i;

Di - размер вклада типа D в месяце i.

Задача может быть описана следующей моделью:

(15)

Таблица исходных данных и форма Поиск решения в Microsoft Excel:

Рис. 20

Решение задачи в Microsoft Excel выглядит так:

Рис. 21

Итак, минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, составляет 679 тыс. руб. Для получения такого результата нужно использовать типы вкладов В и С.

Такой же результат можно получить и с помощью программы Mathcad:

Рис. 22

Функция minimize возвращает вектор значений переменных, являющихся аргументами целевой функции, при которых ее значение будет минимальным. В первой колонке – порядковый номер переменной, начиная с нулевого, по очередности упоминания. Во второй – соответствующие значения переменных.

При необходимости, присвоив переменным полученные значения, можно рассчитать и значение целевой функции.

Задачи

Задача 4.1

Предпринимателю требуется для закупки товара 10000 рублей через 3 месяца. Сберегательный банк предлагает предпринимателю внести определенную сумму денег по одному из типов вкладов: А (сроком на 1 месяц под 2%) или В (сроком на 3 месяца под 6%). Необходимо определить тип вклада, который позволит получить требуемые средства в течение трех месяцев, вложив минимальную сумму денег.

Задача 4.2

Гражданин О. Бендер хочет приобрести некий мебельный гарнитур, стоимость которого 100 тыс. рублей. Администрация аукциона согласна на выплату в рассрочку, с условием, что 20 тыс. руб. О. Бендер выплатит через 2 месяца, а остальную сумму - через 4 месяца.

Однако О. Бендер, справедливо полагая, что найти требуемую сумму ему не удастся, хочет получить средства путем вложения денег по одному из типов вклада: А (сроком на 1 месяц под 1,5%), В (сроком на 2 месяца под 3,5%) или С (сроком на 4 месяца под 8%).

Какую сумму и по какому типу вклада нужно вложить О. Бендеру, чтобы через 4 месяца купить гарнитур?

Задача 4.3

Уезжая в длительную заграничную командировку, некий бизнесмен решил вложить в банк имеющуюся у него наличность в размере 50 тысяч рублей, воспользовавшись одним из способов:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A	1	1,5%
B	2	3,5%
C	4	8,0%

Какую максимальную сумму денег сможет получить бизнесмен, вернувшись в Россию через 4 месяца?

Задача 4.4

Студент Иванов 31 мая получил стипендию, равную 5000 рублей. Воспользоваться полученными деньгами студент планирует не ранее 1 сентября. У студента имеется возможность инвестировать полученные средства по одному из вариантов:

Тип вклада	Срок вклада (мес.)	Процент по вкладу
A	1	2%
B	3	6%

Каким способом инвестирования стоит воспользоваться, чтобы получить 1 сентября максимальное количество наличных средств?

Транспортная задача

Общая постановка задачи: определить маршруты доставки различных объемов продукции от производителей к потребителям, минимизируя затраты на их транспортировку.

Модель:

(16)

где: a_i - величина предложения продукции в пункте i;

b_j - величина спроса на продукцию в пункте j;

c_ij - затраты на транспортировку единицы продукции из пункта i в пункт j;

x_ij - количество продукции, перевозимое из пункта i в пункт j.

В случае, если транспортная задача называется замкнутой или сбалансированной. В противном случае имеется либо перепроизводство продукции, когда либо ее дефицит:

Задача с перепроизводством или дефицитом продукции должна быть обязательно сведена к замкнутому виду. При перепроизводстве вводят фиктивного m+1-го потребителя, причем . Тогда замкнутая задача имеет вид:

(17)

где: с_i,m+1 - штраф за единицу нереализованной продукции в пункте i;

y_i - количество продукции, нереализованное в пункте i.

В случае дефицита продукции действуют аналогично, вводя фиктивного n+1-го производителя, . Тогда замкнутая задача имеет вид:

(18)

где: с_n+1,j - штраф за единицу недопоставленной продукции в пункт j;

y_j - количество продукции, недопоставленное в пункт j.

В условии транспортной задачи могут встречаться также дополнительные условия, например, запреты, ограничения на пропускные способности, фиксированные перевозки, введение новых мощностей и т.д.