Задание 2

Уравнения, приведенные в задании 2, являются однородными дифференциальными уравнениями – уравнения, которые можно при­вести к виду , где – однородная функция от х и у, т.е. функция, обладающая следующим свойством:

для любого . Это означает, что функция не меняется, если х и у одновременно умножить на одно и то же число .

Для решения однородного дифференциального уравнения вводят вместо у новую искомую функцию . Для функции u получится уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Найти частное решение дифференциального урав­нения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. В примере . Вычислим

.

Функция не изменилась от того, что х и у одновременно умножили на , следовательно, наше уравнение является однородным.

Пусть , т.е. у = u·х. По правилу дифференцирования про­изведения двух функций получим (так как ).

В нашем уравнении вместо у подставим , а вместо → . Получим

; ;

; ;

.

Это будет уравнение с разделяющимися переменными. Разде­лим переменные и проинтегрируем:

; .

Интеграл в правой части равен .

Найдем интеграл в левой части

.

.

(так как в числителе дроби стоит производная знаменателя).

Аналогично

.

Таким образом, получим

.

Представим произвольную постоянную с₁ в виде и воспользуемся свойствами логарифмической функции:

;

;

; .

Заменив , получим или .

Чтобы вернуться к функции у, подставим

или .

Окончательно получим общее решение дифферинциального уравнения

.

Для начального условия , поставим х = 1, у = 3, получим , т.е. с = 0,3.

Итак, решение задачи имеет вид .

Задание 3

Уравнения, данные в задании 3, являются линейными диффе­ренциальными уравнениями 1 порядка – это уравнения, которое можно привести к виду

,

где – некоторые непрерывные функции от х.

Решение линейного дифференциального уравнения 1 порядка ищут в виде произведения двух функций . Функцию v выбирают так, чтобы было выполнено равенство . Это равенство является дифференциальным уравнением с разделяющи­мися переменными. решим его и найдем любое частное решение v.

Подставим в исходное уравнение и . Получим

;

.

Так как

, то или , .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Ищем решение в виде . Подставим в уравнение вместо у произведение , а вместо – производную произведения .

Получим

Для нахождения u или v получим два уравнения:

Из первого уравнения найдем функцию v. Это будет уравнение с разделяющимися переменными ; . Разделим переменные и проинтегрируем обе части

; ;

– частное решение первого уравнения.

Подставим найденное решение во второе уравнение

;

.

Интегрируя по частям, получим

.

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид